[论文解读] Anti-self-dual orbifolds with cyclic quotient singularities

Jeff Viaclovsky, Michael T. Lock|arXiv (Cornell University)|May 17, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文建立了具有循环商奇点的四维反自对偶轨道上反自对偶形变复形的指标定理，从而能够计算形变空间的维数。该结果被应用于证明：除Eguchi-Hanson度量外，Calderbank-Singer标量曲率为零的Kähler轨形A型极限爱因斯坦（ALE）空间均存在非轨形的反自对偶形变；同时，加权射影空间上的典型Bochner-Kähler度量存在非平凡的自对偶形变，从而构造出新的自对偶轨道度量。

ABSTRACT

An index theorem for the anti-self-dual deformation complex on anti-self-dual orbifolds with cyclic quotient singularities is proved. We present two applications of this theorem. The first is to compute the dimension of the deformation space of the Calderbank-Singer scalar-flat Kahler toric ALE spaces. A corollary of this is that, except for the Eguchi-Hanson metric, all of these spaces admit non-toric anti-self-dual deformations, thus yielding many new examples of anti-self-dual ALE spaces. For our second application, we compute the dimension of the deformation space of the canonical Bochner-Kahler metric on any weighted projective space $\mathbb{CP}^2_{(r,q,p)}$ for relatively prime integers $1 < r < q < p$. A corollary of this is that, while these metrics are rigid as Bochner-Kahler metrics, infinitely many of these admit non-trival self-dual deformations, yielding a large class of new examples of self-dual orbifold metrics on certain weighted projective spaces.

研究动机与目标

• 为具有循环商奇点的反自对偶轨道上的反自对偶形变复形建立指标定理。
• 计算Calderbank-Singer标量曲率为零的Kähler轨形ALE空间的形变空间维数。
• 确定加权射影空间 $\mathbb{CP}^{2}_{(r,q,p)}$ 上典型Bochner-Kähler度量的形变空间维数。
• 通过非平凡形变构造新的反自对偶与自对偶轨道度量。

提出的方法

• 利用 $\Gamma$-指标公式，推导具有循环群作用的轨道的Atiyah-Singer指标定理的校正项。
• 显式计算 $\Gamma_{(q,p)}$-作用在 $\mathbb{R}^4$ 上的 $\Gamma$-指标，对应于循环商 $\mathbb{R}^4/\Gamma_{(q,p)}$。
• 通过计算其奇点的 $\Gamma$-指标，将指标公式应用于Calderbank-Singer ALE空间。
• 利用指标计算 $\dim H^1$ 和 $\dim H^0$，并通过Kuranishi映射推导模空间的维数。
• 利用唯一延拓性与爱因斯坦缩放度量上的衰减估计，证明在反向定向下，$\overline{\mathbb{CP}}^2_{(r,q,p)}$ 上典型Bochner-Kähler度量的 $H^2 = 0$。
• 利用互惠性与数论恒等式，计算具有一或两个奇点情形下的指标。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有循环商奇点的反自对偶轨道的Atiyah-Singer指标定理的显式校正项是什么？
• RQ2 Calderbank-Singer标量曲率为零的Kähler轨形ALE空间的形变空间维数是多少？
• RQ3 除了Eguchi-Hanson情形外，这些ALE空间是否还存在非轨形的反自对偶形变？
• RQ4 加权射影空间 $\mathbb{CP}^{2}_{(r,q,p)}$ 上典型Bochner-Kähler度量的形变空间维数是多少？
• RQ5 这些度量是否具有非平凡的自对偶形变？若有，数量是多少？

主要发现

• 对于满足 $1 < r < q < p$ 且互素的Calderbank-Singer ALE空间，当 $q = p-1$ 时，形变空间维数为 $2$；当 $p = eq - (q-1)$ 且 $q \neq p-1$ 时，维数为 $-4\lfloor p/q \rfloor + 6$；其他情况下为 $-4\lfloor p/q \rfloor + 4$。
• 除Eguchi-Hanson度量外，所有Calderbank-Singer ALE空间均存在非轨形的反自对偶形变，从而构造出新的反自对偶ALE空间例子。
• 对于 $\overline{\mathbb{CP}}^2_{(1,q,p)}$ 上的典型Bochner-Kähler度量，当 $q = p-1$ 时，指标为 $2$；否则为 $-4\lfloor p/q \rfloor + 6$；当 $r = q = 1$ 时，指标为 $-4p + 12$。
• 这些加权射影空间上反自对偶共形结构的模空间在局部上同构于 $H^1 / H^0$，其维数取决于 $H^0$ 的作用。
• 在反向定向下，$\overline{\mathbb{CP}}^2_{(r,q,p)}$ 上典型Bochner-Kähler度量的上同调群 $H^2$ 为零，意味着模空间在局部上为 $H^1 / H^0$。
• 经验性证据表明，数论条件 $H(r,q,p) = \{p/(qr)\} - \{q^{-1;r}p / r\}$ 为正与为负的情形出现频率大致相等。