[论文解读] Anti-van der Waerden numbers of 3-term arithmetic progressions

Zhanar Berikkyzy, Alex Schulte+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

该论文通过精确确定所有 $ n $ 的 $\operatorname{aw}([n],3)$ 值，解决了关于反范德瓦尔登数 $\operatorname{aw}([n],3)$ 的猜想，即存在常数 $ C $ 使得 $\operatorname{aw}([n],3) \leq \lceil \log_3 n \rceil + C$。证明表明：当 $ n = 3^m $ 时，$\operatorname{aw}([n],3) = m+2$；否则在 $ 7 \cdot 3^{m-2} + 1 \leq n \leq 21 \cdot 3^{m-2} $ 范围内，$\operatorname{aw}([n],3) = m+3$，从而确认了该猜想并确定了精确颜色划分下彩虹三元等差数列的临界阈值。

ABSTRACT

The \emph{anti-van der Waerden number}, denoted by $aw([n],k)$, is the smallest $r$ such that every exact $r$-coloring of $[n]$ contains a rainbow $k$-term arithmetic progression. Butler et. al. showed that $\lceil \log_3 n ceil + 2 \le aw([n],3) \le \lceil \log_2 n ceil + 1$, and conjectured that there exists a constant $C$ such that $aw([n],3) \le \lceil \log_3 n ceil + C$. In this paper, we show this conjecture is true by determining $aw([n],3)$ for all $n$. We prove that for $7\cdot 3^{m-2}+1 \leq n \leq 21 \cdot 3^{m-2}$, \[ aw([n],3)=\left\{\begin{array}{ll} m+2, & \mbox{if $n=3^m$}\\ m+3, & \mbox{otherwise}. \end{array} ight.\]

研究动机与目标

• 解决 Butler 等人提出的猜想，即存在常数 $ C $ 使得 $\operatorname{aw}([n],3) \leq \lceil \log_3 n \rceil + C$。
• 对所有 $ n \geq 2 $ 确定 $\operatorname{aw}([n],3)$ 的精确值。
• 建立 $\operatorname{aw}([n],3)$ 与 $\operatorname{aw}_u([n],3)$ 之间的关系，证明对所有 $ n $ 二者相等。
• 通过结构化与递归论证，刻画避免彩虹三元等差数列的极值着色。

提出的方法

• 对 $ n $ 使用数学归纳法，证明 $\operatorname{aw}([n],3)$ 的精确公式，基础情形来自表 1。
• 通过模运算约化与着色扩展，构建单位色着色，利用区间 $[n]$、$[h]$ 和 $[h-1]$ 的结构，其中 $ h = \lfloor n/3 \rfloor $。
• 应用定理 3 于 $\operatorname{aw}(\mathbb{Z}_n,3)$，以 $\log_3(2q)$ 的形式界定 $\operatorname{aw}(\mathbb{Z}_{2q},3)$，利用质因数分解的性质。
• 分析具有特定颜色模式的 8-AP 的特殊着色，推导出对 $ n $ 和 $ q $ 的约束，从而得到对 $ r $ 的界限。
• 利用区间内颜色模式的对称性与反转，构造 $\mathbb{Z}_{2q}$ 的无彩虹三元等差数列着色，实现递归界限。
• 反证法：假设存在 $ r $ 种颜色且无彩虹三元等差数列，则除非 $ r \leq f(n) - 1 $，否则导致矛盾，从而证明上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在常数 $ C $，使得对所有 $ n \geq 3 $，有 $\operatorname{aw}([n],3) \leq \lceil \log_3 n \rceil + C $？
• RQ2 对所有 $ n $，$\operatorname{aw}([n],3)$ 的精确值是什么？
• RQ3 $\operatorname{aw}_u([n],3)$ 与 $\operatorname{aw}([n],3)$ 之间有何关系？
• RQ4 哪些结构性质刻画了避免彩虹三元等差数列的极值着色？

主要发现

• 确认了 $\operatorname{aw}([n],3) \leq \lceil \log_3 n \rceil + C $ 的猜想，其中 $ C = 3 $，并确定了精确值。
• 在 $ 7 \cdot 3^{m-2} + 1 \leq n \leq 21 \cdot 3^{m-2} $ 范围内，若 $ n = 3^m $，则 $\operatorname{aw}([n],3) = m+2 $；否则 $\operatorname{aw}([n],3) = m+3 $。
• $\operatorname{aw}_u([n],3) = \operatorname{aw}([n],3)$ 对所有 $ n \geq 2 $ 成立，表明单位色着色可达到极值阈值。
• 通过归纳法与反证法，结合区间约化与着色对称性，证明了上界 $\operatorname{aw}([n],3) \leq f(n)$。
• 分析表明，若 $ n \geq 9q $，则 9-AP 必含彩虹三元等差数列，因此必须有 $ n \leq 9q - 1 $，从而限制可能的着色。
• 当 $ q = 3^i $ 时，有 $\operatorname{aw}(\mathbb{Z}_{2q},3) \leq \lceil \log_3(2q) \rceil + 2 $，该界在归纳步骤中用于证明 $ r \leq f(n) - 1 $。