[论文解读] Anticipating Random Periodic Solutions--II. SPDEs with Multiplicative Linear Noise

Chunrong Feng, Yue Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过在 $L^2(\mathcal{O})$ 中使用耦合的前向-后向无限时域随机积分方程，建立了带有多重线性噪声的非线性随机偏微分方程（SPDEs）在有界区域上随机周期解的存在性。通过采用广义Schauder不动点定理、Wiener-Sobolev空间中的相对紧性以及局部化方法，作者证明了存在性结果，并将其应用于具有周期势的随机Allen-Cahn方程。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of random periodic solutions for semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative linear noise on a bounded open domain ${\cal O}\subset {\mathbb R}^d$ with smooth boundary. We identify them with the solutions of coupled forward-backward infinite horizon stochastic integral equations in $L^2({\cal O})$. We then use generalized Schauder's fixed point theorem, the relative compactness of Wiener-Sobolev spaces in $C^0([0, T], L^2(Ω imes{\cal O}))$ and a localization argument to prove the existence of solutions of the infinite horizon integral equations, which immediately implies the existence of the random periodic solution to the corresponding SPDEs. As an example, we apply our result to the stochastic Allen-Cahn equation with a periodic potential and prove the existence of a random periodic solution using a localisation argument.

研究动机与目标

• 在具有光滑边界有界区域上，建立带有多重线性噪声的非线性SPDEs的随机周期解的存在性。
• 解决在多重噪声设定下随机周期解具有预测性（anticipating）所带来的挑战，这要求使用Skorokhod型随机积分。
• 通过引入随机线性演化算子并将其问题重新表述为耦合的前向-后向无限时域随机积分方程（IHRIEs），克服Malliavin导数估计中的困难。
• 将随机周期解理论扩展至无限维设定，特别是针对SPDEs。
• 通过将该框架应用于具有周期势的随机Allen-Cahn方程，展示其适用性。

提出的方法

• 在 $L^2(\mathcal{O})$ 中将SPDE表述为耦合的前向-后向无限时域随机积分方程（IHSIEs）系统。
• 利用随机线性演化算子处理多重噪声，避免直接处理Skorokhod积分。
• 应用广义Schauder不动点定理，证明无限时域积分方程解的存在性。
• 利用 $C^0([0,T], L^2(\Omega \times \mathcal{O}))$ 中Wiener-Sobolev空间的相对紧性，确保逼近序列的收敛性。
• 实施局部化方法以控制非线性项，并在不动点论证中确保一致有界性。
• 在分析中利用一致椭圆算子 $\mathcal{L}$ 的谱分解，通过特征函数 $\{\phi_k\}$ 和特征值 $\{\mu_k\}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机周期解具有预测性的情况下，带有多重线性噪声的非线性SPDEs是否可能存在随机周期解？
• RQ2 在随机周期解的背景下，如何克服Skorokhod型随机积分带来的分析挑战？
• RQ3 在带有多重噪声的无限维SPDEs中，何种条件可确保随机周期解的存在性？
• RQ4 该框架能否应用于物理上有意义的模型，如具有周期势的随机Allen-Cahn方程？
• RQ5 Wiener-Sobolev空间的相对紧性在无限维设定下的存在性证明中起到何种作用？

主要发现

• 通过求解耦合的前向-后向无限时域随机积分方程，建立了带有多重线性噪声的SPDEs中随机周期解的存在性。
• 该方法通过引入随机线性演化算子避免了对Skorokhod积分的直接处理，使得不动点论证得以实施。
• 在 $C^0([0,T], L^2(\Omega \times \mathcal{O}))$ 中利用Wiener-Sobolev空间的相对紧性，确保不动点论证中可提取收敛子序列。
• 成功应用局部化方法以控制SPDE中的非线性项，确保不动点定理所需的统一有界性。
• 对于具有周期势 $F(t,u) = u - u^3 + \sin t$ 的随机Allen-Cahn方程，满足弱耗散条件，且证明了周期为 $2\pi$ 的随机周期解的存在性。
• 关键估计 $\tilde{M} = M - \epsilon > \sigma^2/2$ 被用于确保耗散性，这对存在性结果至关重要。