[论文解读] Any non-monomial polynomial of the Riemann zeta-function has complex zeros off the critical line

Takashi Nakamura, Łukasz Pańkowski|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 32被引用 8

一句话总结

本文证明了黎曼ζ函数及其相关ζ函数的任意非单次多项式——包括与对称矩阵相关的ζ函数、谱ζ函数、Euler-Zagier多重ζ函数、Barnes和Shintani多重ζ函数，以及Witten多重ζ函数——在临界线之外具有无限多个复零点。该结果通过混合普遍性与解析延拓技术推导得出，确立了一类广泛的ζ函数，其非平凡零点在临界线之外普遍存在。

ABSTRACT

In this paper, we show that any polynomial of zeta or $L$-functions with some conditions has infinitely many complex zeros off the critical line. This general result has abundant applications. By using the main result, we prove that the zeta-functions associated to symmetric matrices treated by Ibukiyama and Saito, certain spectral zeta-functions and the Euler-Zagier multiple zeta-functions have infinitely many complex zeros off the critical line. Moreover, we show that the Lindelöf hypothesis for the Riemann zeta-function is equivalent to the Lindelöf hypothesis for zeta-functions mentioned above despite of the existence of the zeros off the critical line. Next we prove that the Barnes multiple zeta-functions associated to rational or transcendental parameters have infinitely many zeros off the critical line. By using this fact, we show that the Shintani multiple zeta-functions have infinitely many complex zeros under some conditions. As corollaries, we show that the Mordell multiple zeta-functions, the Euler-Zagier-Hurwitz type of multiple zeta-functions and the Witten multiple zeta-functions have infinitely many complex zeros off the critical line.

研究动机与目标

• 建立非单次多项式ζ函数在临界线之外存在无限多个非平凡复零点的一般判据。
• 将普遍性原理扩展至具有临界线外零点的ζ函数，特别是通过混合普遍性与解析延拓技术。
• 在代数或超越参数条件下，解决多重ζ函数（如Euler-Zagier、Barnes、Shintani、Witten）的零点分布问题。
• 阐明Lindelöf假设与零点位置之间的关系，表明尽管存在临界线外的零点，该假设对ζ函数仍具等价性。

提出的方法

• 应用混合普遍性定理，将ζ函数的逼近性质与零点分布相联系。
• 利用Euler-Maclaurin、Mellin-Barnes及二项式定理技术进行多重ζ函数的亚纯延拓。
• 分析辅助函数的函数方程及其非零性质，以确保非平凡零点簇的存在。
• 利用具有Euler乘积的ζ函数的强普遍性，及其与一般狄利克雷级数组合的性质。
• 结合李代数结构的谱与表示论结构，运用Kronecker逼近定理处理基于李代数的ζ函数。
• 通过反证法与密度论证，证明在给定条件下零点集无法被限制在临界线上。

实验结果

研究问题

• RQ1 非单次多项式黎曼ζ函数是否在临界线之外具有无限多个复零点？
• RQ2 混合普遍性定理能否用于推导具有临界线外零点的ζ函数的零点分布定理？
• RQ3 具有有理数或超越参数的Barnes多重ζ函数是否在临界线之外具有无限多个非平凡零点？
• RQ4 在特定参数条件下，Mordell、Euler-Zagier-Hurwitz及Witten多重ζ函数是否保证在临界线之外具有无限多个复零点？
• RQ5 黎曼ζ函数的Lindelöf假设是否与具有临界线外零点的其他ζ函数的Lindelöf假设等价？

主要发现

• 在满足特定收敛性与非零条件的前提下，黎曼ζ函数的任意非单次多项式在临界线之外具有无限多个复零点。
• Ibukiyama与Saito研究的与对称矩阵相关的ζ函数在临界线之外具有无限多个非平凡零点。
• 当参数为超越数或代数无关时，谱ζ函数与Euler-Zagier多重ζ函数在临界线之外具有无限多个复零点。
• 在适当条件下，具有有理数或超越参数的Barnes多重ζ函数在临界线之外具有无限多个零点，从而也适用于Shintani多重ζ函数。
• 当参数满足所需的代数无关性或超越性条件时，Mordell多重ζ函数、Euler-Zagier-Hurwitz型函数及Witten多重ζ函数均在临界线之外具有无限多个复零点。
• 尽管存在临界线外的零点，黎曼ζ函数的Lindelöf假设与本文讨论的所有其他ζ函数的Lindelöf假设等价。