[论文解读] Anyonic Partial Transpose I: Quantum Information Aspects

Hassan Shapourian, Roger S. K. Mong+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2020

Quantum Information and Cryptography参考文献 3被引用 5

一句话总结

该论文通过利用拓扑量子场论中部分转置与编织操作之间的结构相似性，将部分转置和对数负性推广至具有非阿贝尔分数统计的任意Anyon系统。它定义了一种任意Anyon对数负性，该定义满足关键的纠缠度量标准，并证明在无重数的Anyon范畴中，其仅在测度为零的集合上为零，与量子比特系统中此类态占据有限体积的情况形成鲜明对比。

ABSTRACT

A basic diagnostic of entanglement in mixed quantum states is known as the partial transpose and the corresponding entanglement measure is called the logarithmic negativity. Despite the great success of logarithmic negativity in characterizing bosonic many-body systems, generalizing the partial transpose to fermionic systems remained a technical challenge until recently when a new definition that accounts for the Fermi statistics was put forward. In this paper, we propose a way to generalize the partial transpose to anyons with (non-Abelian) fractional statistics based on the apparent similarity between the partial transpose and the braiding operation. We then define the anyonic version of the logarithmic negativity and show that it satisfies the standard requirements such as monotonicity to be an entanglement measure. In particular, we elucidate the properties of the anyonic logarithmic negativity by computing it for a toy density matrix of a pair of anyons within various categories. We conjecture that the subspace of states with a vanishing logarithmic negativity is a set of measure zero in the entire space of anyonic states, in contrast with the ordinary qubit systems where this subspace occupies a finite volume. We prove this conjecture for multiplicity-free categories.

研究动机与目标

• 将量子信息中用于检测混合态纠缠的标准工具——部分转置与对数负性——推广至具有非阿贝尔分数统计的任意Anyon系统。
• 解决由于费米子与任意Anyon系统具有非平凡交换统计而长期存在的纠缠度量定义难题。
• 建立任意Anyon对数负性作为有效纠缠度量的严格框架，满足单调性及其他标准要求。
• 研究任意Anyon系统中对数负性为零的态的结构，并与量子比特系统中占据有限体积的可分态进行对比。

提出的方法

• 基于拓扑量子场论中部分转置操作与编织操作之间的同构关系，提出一种针对任意Anyon的新部分转置定义。
• 利用幺正模张量范畴（如 $su(2)_k$，$su(3)_3$）中的任意Anyon F 和 R 符号，以图示形式计算部分转置的密度矩阵。
• 将部分转置的密度矩阵表示为融合通道的线性组合，其系数由任意Anyon数据（F 和 R 矩阵）导出。
• 将任意Anyon对数负性定义为部分转置密度矩阵的迹范数的对数，确保其在局部操作下满足单调性。
• 将该形式化方法应用于多种任意Anyon范畴中两个任意Anyon的模型密度矩阵，显式计算对数负性。
• 证明在无重数范畴中，对数负性为零的态的集合测度为零，利用任意Anyon数据的结构及迹范数的正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于非阿贝尔分数统计的任意Anyon具有非平凡交换统计，如何将其部分转置操作推广至此类系统？
• RQ2 任意Anyon对数负性是否满足纠缠度量的标准公理，例如在局部操作下的单调性？
• RQ3 任意Anyon系统中对数负性为零的态的集合的测度是多少？与量子比特情形相比有何不同？
• RQ4 部分转置与编织之间的结构相似性能否用于在任意Anyon系统中定义一致且可计算的纠缠度量？
• RQ5 融合重数在任意Anyon对数负性行为中起什么作用？

主要发现

• 任意Anyon对数负性被定义为部分转置密度矩阵的迹范数的对数，确保其满足纠缠度量的标准要求，包括单调性。
• 该形式化方法成功通过利用拓扑量子场论中部分转置与编织操作之间的同构关系，将部分转置推广至任意Anyon。
• 在无重数任意Anyon范畴（如 $su(2)_k$，$su(3)_3$）中，对数负性为零的态的集合测度为零，与量子比特系统中占据有限体积的可分态形成鲜明对比。
• 在 $su(2)_3$ 和 $su(3)_3$ 范畴中的显式计算验证了所提度量的一致性与可计算性。
• 该方法给出了以任意Anyon F 和 R 符号表示的部分转置密度矩阵的闭式表达式，从而实现了对任意Anyon混合态纠缠的定量分析。
• 结果表明，任意Anyon系统在一般情况下是纠缠的，因为仅极小部分态在对数负性为零的意义下是可分的。