[论文解读] Aperiodic order and spherical diffraction

Michael Björklund, Tobias Hartnick+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 29被引用 8

一句话总结

本文在任意局部紧第二可数（lcsc）群中引入了模型集，将梅耶尔（Meyer）的框架从阿贝尔群推广至非阿贝尔情形。它发展了一套无需Følner集的新型衍射理论，使非阿梅兰群中的分析成为可能，并推导出球面衍射的显式公式——广义化了球面迹公式。关键结果是：若底层格是共(compact)的，则模型集具有纯点球面衍射。

ABSTRACT

We introduce model sets in arbitrary locally compact second countable (lcsc) groups, generalizing Meyer's definition of a model set in a locally compact abelian group. We then provide a new formulation of diffraction theory, which unlike the classical formulation does not involve F{\o}lner sets and thus generalizes to point sets in non-amenable lcsc groups. We focus on the case of lcsc groups admitting a Gelfand pair and on the spherical part of the diffraction. Using this approach we obtain explicit formulas for the auto-correlation and diffraction of model sets. Our diffraction formula generalizes the spherical trace formula in a similar way as the abelian diffraction formula generalizes the Poisson summation formula. We deduce that a model set has pure point spherical diffraction provided the underlying lattice is cocompact.

研究动机与目标

• 将模型集的理论从局部紧阿贝尔群推广至任意lcsc群。
• 发展一种避开Følner集的衍射理论，使该理论可应用于非阿梅兰群。
• 聚焦于具有Gelfand对结构的群中的球面衍射部分。
• 在该设定下，推导模型集自相关与衍射的显式公式。
• 建立模型集呈现纯点球面衍射的条件。

提出的方法

• 通过将非阿贝尔情形下的截取-投影方案推广，定义任意lcsc群中的模型集。
• 基于Gelfand对上的调和分析，提出一种新型衍射形式化方法，避免对Følner集的依赖。
• 利用球面傅里叶变换分析衍射测度的球面部分。
• 借助Gelfand对结构，确保球面变换定义良好且易于处理。
• 通过群论调和分析，推导出自相关与衍射测度的显式表达式。
• 应用球面迹公式，将衍射与对称空间中格点计数关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将模型集从局部紧阿贝尔群推广至任意lcsc群？
• RQ2 在非阿梅兰群中，定义衍射时，Følner集的合适替代方案是什么？
• RQ3 在具有Gelfand对结构的群中，模型集的球面衍射行为如何？
• RQ4 能否在此设定下推导出自相关与衍射测度的显式公式？
• RQ5 在何种条件下，模型集会表现出纯点球面衍射？

主要发现

• 所提出的衍射理论适用于非阿梅兰lcsc群，克服了基于Følner集的经典衍射理论的局限性。
• 利用球面调和分析，推导出自相关与衍射测度的显式公式。
• 衍射公式以类似于阿贝尔衍射公式广义化泊松求和公式的方式，推广了球面迹公式。
• 证明了若底层格是共(compact)的，则模型集的球面衍射为纯点。
• 该框架适用于具有Gelfand对结构的群，使对称空间调和分析可应用于衍射理论。