[论文解读] Aperiodic Structures Never Collapse: Fibonacci Hierarchies for Lossless Compression

Roberto Tacconelli (Plain Text Extraction and Formatting)|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2026

Quasicrystal Structures and Properties被引用 0

一句话总结

本文证明基于斐波那契准晶体的逐层层次结构在字词层面的压缩中在所有深度都不会坍塌，产生尺度不变的复用、更高的码本效率以及比周期平铺更低的编码熵；通过一个十级层次结构和多平铺引擎进行演示。

ABSTRACT

We study whether an aperiodic hierarchy can provide a structural advantage for lossless compression over periodic alternatives. We show that Fibonacci quasicrystal tilings avoid the finite-depth collapse that affects periodic hierarchies: usable $n$-gram lookup positions remain non-zero at every level, while periodic tilings collapse after $O(\log p)$ levels for period $p$. This yields an aperiodic hierarchy advantage: dictionary reuse remains available across all scales instead of vanishing beyond a finite depth. Our analysis gives four main consequences. First, the Golden Compensation property shows that the exponential decay in the number of positions is exactly balanced by the exponential growth in phrase length, so potential coverage remains scale-invariant with asymptotic value $Wφ/\sqrt{5}$. Second, using the Sturmian complexity law $p(n)=n+1$, we show that Fibonacci/Sturmian hierarchies maximize codebook coverage efficiency among binary aperiodic tilings. Third, under long-range dependence, the resulting hierarchy achieves lower coding entropy than comparable periodic hierarchies. Fourth, redundancy decays super-exponentially with depth, whereas periodic systems remain locked at the depth where collapse occurs. We validate these results with Quasicryth, a lossless text compressor built on a ten-level Fibonacci hierarchy with phrase lengths ${2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}$. In controlled A/B experiments with identical codebooks, the aperiodic advantage over a Period-5 baseline grows from $36{,}243$ B at 3 MB to $11{,}089{,}469$ B at 1 GB, explained by the activation of deeper hierarchy levels. On enwik9, Quasicryth achieves $225{,}918{,}349$ B $(22.59\%)$, with $20{,}735{,}733$ B saved by the Fibonacci tiling relative to no tiling.

研究动机与目标

• 证明斐波那契分层平铺在所有深度上都不会坍塌，与周期平铺不同。
• 展示斯特尔曼极小性与均衡如何转化为压缩优势。
• 开发并验证带深度查找（最高到 144-gram）的多结构斐波那契分铺压缩器。
• 通过理论结果与受控实验量化非周期优势。

提出的方法

• 将输入建模为字词标记，并对 n-gram（最多 144 词）应用十一种斐波那契文法级码书。
• 构造 36 个非周期平铺（包括黄金比与非黄金比的无穷无理数），并通过评分函数在区块中选择最佳平铺。
• 使用逆斐波那契缩减构建深度替换层级以实现深度查找位置。
• 使用带有逐层上下文、缓存以及两层一元模型的多层自适应算术编码进行编码。
• 在算术编码前应用字级 LZ77 捕获重复，并为超出词汇表的单词使用单独的 LZMA 转义流。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个非周期斐波那契平铺是否能在每个深度保持非零的 n-gram 查找位置？
• RQ2 相对于周期平铺，斐波那契层级在信息理论上的好处（覆盖、效率、熵）是什么？
• RQ3 多平铺引擎在大语料上对压缩性能有何影响？
• RQ4 随着层次深度增加，冗余与开销的标度行为是怎样的？

主要发现

• 斐波那契平铺在每个深度都保留两种平铺类型，不会坍塌；与在 O(log p) 层级后坍塌的周期平铺不同。
• 每层的潜在单词覆盖趋于 Wφ/√5，与深度无关（黄金补偿）。
• Level m 的 Sturmian 码本效率在无周期平铺中达到最大值，恰好有 Fm+1 种模式，效率为 Cm/(Fm+1)。
• 每词标记熵受限于 1/φ ≈ 0.618 比特/词，在各深度间确保解析开销有限。
• 对于长程相关源，斐波那契层级在每词编码熵方面严格低于任何坍塌的周期平铺（熵优势）。
• 对于斐波那契层级，冗余以 O(exp(-φ^m/λ)) 的超指数速率衰减，而周期平铺则为固定指数衰减。