[论文解读] Aperiodic Subshifts of Finite Type on Groups

Emmanuel Jeandel|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2015

Cellular Automata and Applications参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文通过可计算性理论证明，能够容纳强非周期性有限型子移位（SFT）的有限生成群，其词问题必须是可判定的，识别出非递归表示群无法容纳此类SFT的可计算性障碍。此外，本文通过在$Χ \times G$上推广Kari型构造，首次在新一类群上构造出强非周期性SFT，包括$π_1$-平凡群、自由群、Thompson群$T$和$V$，以及$PSL_2(Η)$。关键贡献在于，以词问题补集的枚举可约性为条件，对非周期性SFT存在的可计算性条件进行了表征。

ABSTRACT

In this note we prove the following results: $\bullet$ If a finitely presented group $G$ admits a strongly aperiodic SFT, then $G$ has decidable word problem. More generally, for f.g. groups that are not recursively presented, there exists a computable obstruction for them to admit strongly aperiodic SFTs. $\bullet$ On the positive side, we build strongly aperiodic SFTs on some new classes of groups. We show in particular that some particular monster groups admits strongly aperiodic SFTs for trivial reasons. Then, for a large class of group $G$, we show how to build strongly aperiodic SFTs over $\mathbb{Z} imes G$. In particular, this is true for the free group with 2 generators, Thompson's groups $T$ and $V$, $PSL_2(\mathbb{Z})$ and any f.g. group of rational matrices which is bounded.

研究动机与目标

• 刻画哪些可数群可以容纳强非周期性有限型子移位（SFT），尤其关注其可计算性性质。
• 通过枚举可约性，建立非递归表示群无法容纳此类SFT的可计算性理论障碍。
• 构造此前未探索的群类中强非周期性SFT的显式例子，包括怪兽群和$Χ \times G$（对某些$G$）。
• 将Kari的平铺构造推广至$Χ \times G$，对一大类群$G$（包括$PSL_2(\mathbb{Z})$和Thompson群）生成非周期性SFT。
• 阐明群结构、动力非周期性与可计算性之间的关系，尤其通过词问题的视角。

提出的方法

• 在自由群$\mathbb{F}_p$上使用有效闭集定义配置，避免出现禁止的有限模式，从而在prodiscrete拓扑下形成闭子集。
• 应用可计算性理论，证明对递归表示群而言，若存在一个正常非周期性有效闭子移位，则词问题的补集是枚举可约于词问题的。
• 引入PA’-可识别性的概念，通过在具有有理坐标多面体上的连续群作用，表征能容纳强非周期性SFT的群。
• 通过将群作用嵌入具有有理坐标多面体上的分段仿射映射，推广Kari构造，确保极限集中仅单位元固定某点。
• 利用$\mathbb{R}^k$上群表示的不可约性，证明若某元素在极限集中固定一点，则其必为平凡元，从而保证非周期性。
• 构造一组定义在有理多面体$T'$上的分段仿射映射$\mathcal{F}$，使得群$G_{\mathcal{F}}$同构于原群$G$，且极限集$T_{\mathcal{F}}$包含一个一般点的轨道。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限生成群可以容纳强非周期性SFT？它们必须满足何种可计算性约束？
• RQ2 能否通过词问题的性质（特别是枚举可约性）来表征群上强非周期性SFT的存在性？
• RQ3 对非递归表示群而言，其容纳强非周期性SFT的精确可计算性理论障碍是什么？
• RQ4 Kari构造能否推广至$\mathbb{Z} \times G$，以对一大类群$G$生成非周期性SFT？
• RQ5 哪些群（如Thompson群$T$和$V$、$PSL_2(\mathbb{Z})$或自由群）能容纳强非周期性SFT？原因是什么？

主要发现

• 若有限生成群$G$能容纳强非周期性SFT，则其词问题必为可判定的，因为词问题的补集是枚举可约于词问题的。
• 对递归表示群而言，若存在一个正常非周期性有效闭子移位，则词问题的补集是枚举可约于词问题的。
• 自由群$\mathbb{F}_2$是PA’-可识别的，意味着可通过推广的Kari构造容纳强非周期性SFT。
• Thompson群$V$是PA’-可识别的，因此可容纳强非周期性SFT，通过在Cantor集上构造分段仿射映射的连续作用实现。
• 该构造在一大类群$G$上生成了$\mathbb{Z} \times G$上的强非周期性SFT，包括$PSL_2(\mathbb{Z})$、Thompson群$T$和$V$，以及任何有界且由有理矩阵生成的有限生成群。
• 怪兽群（具有不良性质的无限单群）虽构造上退化且平凡，但仍可容纳强非周期性SFT。