[论文解读] Apolarity for determinants and permanents of generic symmetric matrices

Masoumeh, Shafiei|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文确定了通用对称矩阵的行列式与永久式之对偶理想结构，表明行列式的对偶理想由二次生成，而永久式的对偶理想则由二次与三次生成。利用Ranestad与Schreyer的结果，本文建立了这些多项式在cactus秩与秩上的下界，改进了Landsberg与Teitler先前所得的下界。

ABSTRACT

We show that the apolar ideal to the determinant of a generic symmetric matrix is generated in degree two, and the apolar ideal to the permanent of a generic symmetric matrix is generated in degrees two and three. In each case we specify the generators of the apolar ideal. As a consequence, using a result of K. Ranestad and F. O. Schreyer we give lower bounds to the cactus rank and rank of each of these polynomials. We compare these bounds with those obtained by J. Landsberg and Z. Teitler.

研究动机与目标

• 刻画通用对称矩阵的行列式与永久式的对偶理想。
• 确定这些对偶理想的生成元的最小次数。
• 利用代数几何中的已知结果，推导行列式与永久式在cactus秩与秩上的下界。
• 将所得下界与Landsberg与Teitler所获得的现有下界进行比较。

提出的方法

• 分析通用对称矩阵行列式的对偶理想，并证明其由二次生成。
• 研究通用对称矩阵永久式的对偶理想，并表明其由二次与三次生成。
• 应用Ranestad与Schreyer的结果，该结果将对偶理想的结构与cactus秩及秩的下界联系起来。
• 使用符号与代数技术，识别出对偶理想的具体生成元。
• 通过理论分析，将所得下界与Landsberg与Teitler所获得的下界进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 通用对称矩阵行列式的对偶理想结构为何？
• RQ2 通用对称矩阵永久式对偶理想的生成元次数为何？
• RQ3 通用对称矩阵行列式与永久式的cactus秩与秩与先前已知的下界相比如何？
• RQ4 对偶理想结构能否提供比现有方法更紧的cactus秩与秩的下界？

主要发现

• 通用对称矩阵行列式的对偶理想完全由二次生成。
• 通用对称矩阵永久式的对偶理想由二次与三次生成。
• 本文为两个对偶理想提供了显式生成元，使进一步的代数分析成为可能。
• 利用Ranestad与Schreyer的结果，本文为两个多项式的cactus秩与秩建立了新的下界。
• 所得下界优于Landsberg与Teitler先前所得的结果。
• 结果表明，对偶性理论在界定对称多项式的张量秩与cactus秩方面具有显著效用。