[论文解读] Appendix: Chapman-Enskog Expansion in the Lattice Boltzmann Method

Jun Li|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2015

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过 Chapman-Enskog 展开，从格子玻尔兹曼方法（LBM）推导出纳维-斯托克斯方程，建立了 LBM 模型参数与运动粘度之间的直接联系。关键结果是解析公式 ν = (τ − 0.5)Δtc²/3，当马赫数和克努森数较小时，该公式可实现 LBM 模拟中粘度的精确控制。

ABSTRACT

The Chapman-Enskog expansion was used in the lattice Boltzmann method (LBM) to derive a Navier-Stokes-like equation and a formula was obtained to correlate the LBM model parameters to the kinematic viscosity implicitly implemented in LBM simulations. The obtained correlation formula usually works as long as the model parameters are carefully selected to make the Mach number and Knudsen number small although the validity of Chapman-Enskog expansion that has a formal definition of time derivative without tangible mathematical sense is not recognized by many mathematicians.

研究动机与目标

• 通过 Chapman-Enskog 展开，正式从格子玻尔兹曼方法推导出类似纳维-斯托克斯的方程。
• 建立 LBM 模型参数（τ, Δt, c）与运动粘度 ν 之间的显式闭式关系。
• 验证 Chapman-Enskog 展开在 LBM 中的有效性，尽管其形式数学定义缺乏直观物理意义。
• 通过将模型参数与物理粘度关联，实现不可压缩流体流动的精确模拟。
• 通过展开推导出应变率张量公式，为 LBM 中大涡模拟（LES）提供支持。

提出的方法

• 通过将分布函数 fα 展开为 fα = feqα + f(1)α + f(2)α + …，将 Chapman-Enskog 展开应用于格子玻尔兹曼方程。
• 引入多尺度时间展开 ∂t = ∂t₀ + ∂t₁ + …，以分离快速（t₀）和慢速（t₁）动力学。
• 使用 LBM 传输步骤的泰勒展开，将演化方程表示为时间导数和空间梯度的形式。
• 从平衡分布函数推导零阶方程，恢复质量与动量守恒。
• 求解一阶方程，将 f(1)α 表示为 feqα 时间导数和空间梯度的函数。
• 计算 f(1)α 的一阶矩，并代入动量方程，推导出粘性应力项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地应用 Chapman-Enskog 展开，从格子玻尔兹曼方法推导出类似纳维-斯托克斯的方程？
• RQ2 LBM 松弛时间 τ 与运动粘度 ν 之间的显式解析关系是什么？
• RQ3 Chapman-Enskog 展开在 LBM 中的有效条件是什么，特别是关于马赫数和克努森数？
• RQ4 推导出的粘度公式 ν = (τ − 0.5)Δtc²/3 如何与不可压缩流体中的物理粘度相关联？
• RQ5 从展开中推导出的应变率张量表达式能否在 LBM 的大涡模拟（LES）中有效应用？

主要发现

• 在多尺度渐近分析下，Chapman-Enskog 展开成功地从格子玻尔兹曼方程恢复出类似纳维-斯托克斯的方程。
• 推导出的运动粘度为 ν = (τ − 0.5)Δtc²/3，该公式直接将模型参数与物理粘度关联起来。
• 当马赫数和克努森数较小时，展开有效，确保渐近展开的一致性。
• 应变率张量被推导为 ∑α eα,i eα,j f(1)α = −τΔt[c²ρ/3(∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi) − ∂(ρuiujuk)/∂xk]，支持 LES 应用。
• 当密度变化和非线性项可忽略时，从展开中推导出的动量方程与标准不可压缩纳维-斯托克斯方程一致。
• 通过平衡分布函数的性质 ∑α fα = ρ 和 ∑α eα,i fα = ρui，该方法确保了质量和动量守恒。