[论文解读] Applicability of Boussinesq approximation in a turbulent fluid with constant properties

P.-E. Roche|ArXiv.org|Oct 18, 2007

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文推导出四个定量准则，用于评估在流体性质恒定的湍流瑞利-贝纳德对流中布辛涅斯克近似的有效性。研究表明，在使用空气和水的典型实验室实验中，αΔ ≪ 1 准则最为严格；而在超高瑞利数（Ra > 10¹⁶）条件下，特别是液氦中，分层相关准则变得重要，尽管这些准则无法解释高瑞利数实验中传热测量结果之间的差异。

ABSTRACT

The equations of motion describing buoyant fluids are often simplified using a set of approximations proposed by J. Boussinesq one century ago. To resume, they consist in assuming constant fluid properties, incompressibility and conservation of calories during heat transport. Assuming fulfilment of the first requirement (constant fluid properties), we derive a set of 4 criteria for assessing the validity of the two other requirements in turbulent Rayleigh-Bénard convection. The first criterion $αΔ\ll 1 $ simply results from the incompressibility condition in the thermal boundary layer ($α$ and $Δ$ are the thermal expansion coefficient and the temperature difference driving the flow). The 3 other criteria are proportional or quadratic with the density stratification or, equivalently with the temperature difference resulting from the adiabatic gradient across the cell $Δ_{h}$. Numerical evaluations with air, water and cryogenic helium show that most laboratory experiments are free from such Boussinesq violation as long as the first criterion is fulfilled. In ultra high Rayleigh numbers ($Ra>10^{16}$) experiments in He, one of the stratification criteria, scaling with $αΔ_{h}$, could be violated. This criterion garanties that pressure fluctuations have a negligible influence both on the density variation and on the heat transfer equation through compression/expansion cycles. Extrapolation to higher $Ra$ suggests that strong violation of Boussinesq approximation could occur in atmospheric convection.

研究动机与目标

• 建立在流体性质恒定的湍流瑞利-贝纳德对流中布辛涅斯克近似适用性的定量准则。
• 评估布辛涅斯克近似偏离是否可解释高瑞利数实验中传热测量结果的差异。
• 评估在不同流体和瑞利数下，不可压缩性与分层效应对近似有效性的影响程度。
• 确定在极端湍流条件下，'热量守恒'和不可压缩性近似是否仍然有效。
• 为扩展布辛涅斯克模型提供一个框架，通过引入与 αΔ 和 αΔh 成比例的小的非布辛涅斯克项，以实现更精确的模拟。

提出的方法

• 通过尺度分析和实验数据，将精确运动方程中被忽略项的量级与主导项进行比较，推导出四个准则。
• 利用瑞利-贝纳德文献中的典型尺度建模湍流对流，并拟合实验测得的努塞尔数数据。
• 利用热力学关系将准则表达为密度分层或绝热温度梯度的形式，以实现物理解释。
• 对空气、水和液氦在不同瑞利数范围（最高达 10¹⁶）下数值评估准则。
• 将预测的布辛涅斯克近似有效性与实验测得的努塞尔数趋势进行比较，以检验非布辛涅斯克效应是否可解释观测到的差异。
• 建议未来开展包含 αΔ 和 αΔh 项的广义方程的直接数值模拟（DNS），以量化准则中 '≪' 的阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在流体性质恒定的湍流瑞利-贝纳德对流中，布辛涅斯克近似在何种定量条件下仍有效？
• RQ2 不可压缩性与分层效应如何影响布辛涅斯克近似的有效性，特别是在高瑞利数条件下？
• RQ3 布辛涅斯克近似偏离是否可解释在液氦中高瑞利数实验中观测到的传热测量结果差异？
• RQ4 在典型实验室实验中使用空气和水时，四个推导出的准则中哪一个最为严格？
• RQ5 在何种瑞利数下，与分层相关的准则（与 αΔh 成比例）会比不可压缩性准则（αΔ ≪ 1）更严格？

主要发现

• 反映热边界层中不可压缩性的准则 αΔ ≪ 1 在使用空气和水的典型实验室实验中最为严格，且具有普适适用性。
• 在瑞利数超过 10¹⁶ 的液氦中，与 αΔh 成比例的准则可能变得相关，可能表明由于压力涨落引起的压缩效应导致布辛涅斯克近似被违反。
• 三个与分层相关的准则与密度分层间接相关，等价于对压力引起密度涨落和能量方程中热源项的条件约束。
• 尽管在高瑞利数氦实验中（10¹² < Ra < 10¹⁴）观测到努塞尔数趋势存在明显差异，但非布辛涅斯克效应无法解释这些差异。
• 第四个准则（与分层成二次方比例）在数值评估中始终比其他三个准则更宽松，因此在大多数实验条件下相关性较低。
• 本研究建议，通过引入小的非布辛涅斯克项（例如与 αΔ 或 αΔh 成比例）的广义模型，可提高高瑞利数模拟的准确性，尤其适用于地球物理和极端条件下的流动。