[论文解读] Application of a composition of generating functions for obtaining explicit formulas of polynomials

Vladimir Kruchinin, Dmitry Kruchinin|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新方法，利用复合生成函数与生成函数的复合，推导出一系列经典正交多项式和特殊多项式（包括切比雪夫、勒让德、盖根鲍尔、拉盖尔、伯努利、欧拉等）的显式封闭公式。该方法系统地利用生成函数的复合体（composita）将多项式系数表示为包含斯特林数与二项式系数的组合和，从而在不同多项式族之间实现统一且显式的表达。

ABSTRACT

Using notions of composita and composition of generating functions we obtain explicit formulas for Chebyshev polynomials, Legendre polynomials, Gegenbauer polynomials, Associated Laguerre polynomials, Stirling polynomials, Abel polynomials, Bernoulli Polynomials of the Second Kind, Generalized Bernoulli polynomials, Euler Polynomials, Peters polynomials, Narumi polynomials, Humbert polynomials, Lerch polynomials and Mahler polynomials.

研究动机与目标

• 开发一种基于生成函数复合的一般方法，用于推导特殊多项式的显式公式。
• 将复合体概念扩展至普通生成函数，以增强其在多项式表示中的适用性。
• 统一推导不同多项式族（包括正交多项式与特殊函数）的显式公式。
• 为伯努利、欧拉及马勒多项式等的系数提供计算上可行的表达式。
• 通过推导14种特定多项式族的封闭公式，证明该方法的有效性。

提出的方法

• 该方法基于复合体的概念，定义为 $ F^\triangle(n,k) $，即 $ [F(t)]^k $ 的系数函数，其中 $ F(t) $ 是一个无常数项的生成函数。
• 通过整数的复合计算复合体：$ F^\triangle(n,k) = \sum_{\pi_k \in C_n} f(\lambda_1)f(\lambda_2)\cdots f(\lambda_k) $，其中 $ \pi_k $ 是将 $ n $ 分解为 $ k $ 个部分的复合。
• 利用生成函数的复合推导新的生成函数，例如 $ \exp(\alpha \cdot \ln(1 + \frac{\ln(1+t)}{t} - 1)) $，其系数可生成多项式序列。
• 对于有理函数或对数生成函数，该方法应用二项式展开及第一类与第二类斯特林数的已知恒等式。
• 利用指数生成函数的乘法规则组合复合体，推导出结果多项式序列的系数。
• 对已知生成函数（如 $ \frac{\ln(1+t)}{t} $、$ e^t - 1 $、$ \ln(1+t) $）应用特定变换，以推导复杂复合下的复合体。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于生成函数复合发展一种统一方法，推导出多种正交多项式与特殊多项式的显式公式？
• RQ2 如何系统地利用生成函数的复合体来表达多项式序列的系数？
• RQ3 当生成函数复合涉及对数项与有理项时，会涌现出何种封闭表达式？
• RQ4 该方法在处理伯努利、欧拉与马勒多项式等具有非平凡生成函数的多项式族时，其适用范围如何？
• RQ5 该方法能否通过函数复合为洪伯特与莱彻多项式生成显式公式？

主要发现

• 基于复合体的复合方法，成功推导出切比雪夫、勒让德、盖根鲍尔及关联拉盖尔多项式的显式公式。
• 该方法为第二类伯努利多项式给出了封闭表达式：$ B_n^{(2)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k^{(2)} x^{n-k} $，其系数通过复合体推导得出。
• 对于欧拉多项式，公式为 $ E_n(x) = \sum_{k=0}^n \left( \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^j \frac{j!}{n!} \genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{n}{j} \right) x^k $，源自 $ \left( \frac{2}{e^t + 1} \right)^n $。
• 马勒多项式系数表达为 $ M_n(x) = \sum_{k=0}^n x^k \left( \sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{n}{k-j} \genfrac{\{}{\}}{0.0pt}{}{n-k+j}{j} \right) $，基于 $ t - (e^t - 1) $ 的复合体。
• 对于洪伯特多项式，通过 $ 3xt - t^3 $ 的复合体推导出公式：$ H_n(x,\lambda) = \sum_{m=0}^{\lfloor n/3 \rfloor} \binom{n-2m}{m} 3^{n-3m} (-1)^m x^{n-3m} \binom{n-2m + \lambda - 1}{n-2m} $。
• 莱彻多项式表达为 $ L_n(x,\lambda) = \frac{1}{n!} \sum_{k=1}^n k! \genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{n}{k} x^k \binom{\lambda + k - 1}{k} $，利用 $ \ln(1+t) $ 与 $ (1-t)^{-\lambda} $ 的复合体。