[论文解读] Application of an accurate remainder term in the calculation of Residue Class Distributions

Colin Myerscough|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文为计算素数剩余类分布的余项开发了一个高精度表达式，显著提升了素数竞赛对数频率估计的精确度。仅使用少量黎曼ζ函数非平凡零点——初始估计仅需五个，高精度结果少于一百个——即可在多种方法间实现0.001%以内的吻合度，从而能够精确计算极端偏差，例如 pi(x) > Li(x) + 5*Li(sqrt(x)) 的频率达到 8.649×10^(-12477)。

ABSTRACT

This paper uses concepts introduced by Fiorilli and Martin to develop a more accurate remainder term in calculations of the distribution of primes in residue classes. Using it in Rubinstein and Sarnak's method estimates the limiting logarithmic frequency of pi(x)>Li(x) as 0.00000026300 with only 5 zeta zeros used explicitly, and a reliable value between 0.000000262996732 and 0.000000262996733 is obtained with fewer than 100 zeros. Accurate results for "prime number races" can usually be obtained with explicit use of only the first zero of each L-function involved, thus bringing out their dependence on those zeros. For extreme deviations, the method of steepest descent can be applied, and the remainder approximated by an explicit formula together with a rapidly convergent series. This gives, for example, 8.649*10^(-12477) for the logarithmic frequency of pi(x)>Li(x)+5*Li(sqrt(x)). The Monach - Lamzouri model of the extreme distribution is developed to give close agreement with these results. The remainder can also be calculated explicitly as an asymptotic series. This allows good modelling of non-extreme races and the calculation of distributions by direct convolution. The three different methods agree to within 0.001% where they overlap in application. The distribution calculated from values of pi(x) for x<10^20 shows similar behaviour to the limiting distribution, but is somewhat further from normal.

研究动机与目标

• 提升素数剩余类分布计算中余项的准确性。
• 在保持高精度估计对数频率的同时，减少对大量ζ函数零点的依赖。
• 对非极端与极端素数竞赛进行建模，获得一致且可靠的结果。
• 开发一种方法，通过渐近级数与显式公式实现余项的显式计算。
• 通过与现有模型及数值数据的交叉比较，验证该方法的准确性。

提出的方法

• 借鉴并改进Fiorilli与Martin的方法，推导出更精确的素数分布余项。
• 应用Rubinstein与Sarnak的方法估算 pi(x) > Li(x) 的极限对数频率，仅使用五个ζ函数零点，即得 0.00000026300。
• 对极端偏差采用最速下降法，通过显式公式与快速收敛级数近似余项。
• 利用Monach-Lamzouri模型描述极端分布，与计算结果高度吻合。
• 将余项表示为渐近级数，以实现对非极端素数竞赛的直接卷积建模。
• 通过三种独立方法——显式零点计算、最速下降法结合余项近似、渐近级数——进行验证，在重叠区域实现0.001%以内的精度一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在仅使用少量ζ函数零点的前提下，改进素数剩余类分布计算中余项的精度？
• RQ2 当仅显式使用少量ζ函数零点时，pi(x) > Li(x) 的对数频率是多少？
• RQ3 最速下降法结合显式余项公式是否能准确建模极端素数竞赛偏差？
• RQ4 Monach-Lamzouri模型与数值计算所得的极端素数偏差分布在多大程度上一致？
• RQ5 余项的渐近级数表示在通过直接卷积建模非极端素数竞赛时表现如何？

主要发现

• 仅显式使用五个ζ函数零点，该方法估算出 pi(x) > Li(x) 的对数频率为 0.00000026300。
• 使用少于一百个ζ函数零点，该方法可靠估算出相同频率为 0.000000262996732 至 0.000000262996733。
• 对于极端偏差，如 pi(x) > Li(x) + 5*Li(sqrt(x))，该方法计算出的对数频率为 8.649×10^(-12477)。
• 三种方法——显式零点计算、最速下降法结合余项近似、渐近级数——在重叠区域的吻合度达到0.001%以内。
• 对于 x < 10^20 的数值数据，其分布与极限分布相似，但略远离正态性。
• 该方法仅需使用每个相关L函数的第一个零点，即可实现对素数竞赛的精确建模，凸显这些零点在其中的关键作用。