[论文解读] Application of Bogolyubov's approach to the derivation of kinetic equations for dissipative systems

I. Goldhirsch, A. S. Peletminskii+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Statistical Mechanics and Entropy被引用 3

一句话总结

该论文将 Bogolyubov 的泛函假设与关联减弱原理推广至经典耗散多体系统，特别是颗粒气体，推导出其动力学方程。通过在哈密顿框架中引入耗散函数并应用 BBGKY 层次结构，该方法在微扰分析下成功重现了具有恒定法向恢复系数的稀薄单分散颗粒流体的非弹性玻尔兹曼方程，验证了其在耗散系统中的适用性。

ABSTRACT

The main goal of the present article is to extend the Bogolyubov method for deriving kinetic equations to dissipative many-body systems. The basic conjecture underlying the Bogolyubov approach is the functional hypothesis, according to which, the many-particle distribution functions are assumed to be functionals of the one-particle distribution function on kinetic time scales. Another ingredient in the Bogolyubov approach is the principle of the spatial weakening of correlations, which reflects statistical independence of physical values at distant spatial points. One can consider it as a reasonable mixing property of many-particle distribution functions. The motivation behind the generalization of Bogolyubov's approach to (classical) many-body dissipative systems is the wish to describe the dynamics of granular systems, in particular granular fluids. To this end we first define a general dissipative fluid through a dissipation function, thereby generalizing the commonly employed models for granular fluids. Using the Bogolyubov functional hypothesis we show how a reduction of the pertinent BBGKY hierarchy can be achieved. The method is then employed to cases which can be treated perturbatively, such as those in which the interactions are weak or the dissipation is small or the particle density is small. Kinetic descriptions are obtained in all of these limiting cases. As a test case, we show that the Bogolyubov method begets the now standard inelastic Boltzmann equation for dilute monodisperse collections of spheres whose collisions are characterized by a fixed coefficient of normal restitution. Possible further applications and implications are discussed.

研究动机与目标

• 将基于泛函假设与空间关联减弱原理的 Bogolyubov 方法推广至经典耗散多体系统，特别是颗粒流体。
• 在哈密顿表述中引入耗散函数，发展耗散系统的 BBGKY 层次结构，克服伪 Liouville 方程的局限性。
• 通过恢复具有恒定法向恢复系数的稀薄单分散颗粒气体的标准非弹性玻尔兹曼方程，验证该方法的有效性。
• 探讨该方法在研究致密颗粒系统、二元混合物以及传统方法失效的强梯度区域中的潜力。

提出的方法

• 引入耗散函数以推广经典耗散系统的哈密顿力学，从而实现 BBGKY 层次结构的一致推导。
• 应用 Bogolyubov 的泛函假设，假设多粒子分布函数在动力学时间尺度上为单粒子分布的泛函。
• 采用空间关联减弱原理，将远距离空间点的统计独立性建模为混合性质。
• 通过弱相互作用、小耗散或低密度的微扰展开，将 BBGKY 层次结构约化为封闭的动力学方程。
• 从两粒子动力学的渐近动量与坐标推导碰撞积分，包含非弹性碰撞下的雅可比变换。
• 通过证明所推导的碰撞积分在固定法向恢复系数条件下与标准非弹性玻尔兹曼碰撞积分一致，验证其自洽性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bogolyubov 方法能否推广至耗散多体系统（特别是颗粒气体）的动力学方程推导？
• RQ2 如何将耗散函数整合进哈密顿表述中，以描述经典系统中的非弹性碰撞？
• RQ3 泛函假设与关联减弱原理在耗散系统中是否依然有效，能否导出一致的动力学方程？
• RQ4 所推导的动力学方程能否重现具有恒定法向恢复系数的稀薄颗粒气体的已知非弹性玻尔兹曼方程？
• RQ5 该方法在传统动力学理论失效的致密颗粒系统或二元混合物研究中具有何种意义？

主要发现

• 该方法成功重现了具有固定法向恢复系数的稀薄单分散颗粒气体的非弹性玻尔兹曼方程。
• 从渐近动力学推导出的碰撞积分（包含非弹性碰撞下的雅可比变换）与标准非弹性玻尔兹曼碰撞积分完全一致。
• 泛函假设与空间关联减弱原理在耗散系统中被验证为可行假设，可实现 BBGKY 层次结构的约化。
• 该方法适用于弱相互作用、小耗散或低粒子密度的微扰区域，可提供一致的动力学描述。
• 该公式为研究具有强梯度或多重接触的颗粒系统提供了新框架，传统方法在这些情形下存在局限。
• 该方法为致密或复杂颗粒混合物（尤其是传统方法直接应用失败的情形）提供了一种替代 Enskog-Boltzmann 方程的潜在途径。