[论文解读] Application of conformal mapping technique to problems of direct current distribution in thin film wires bent at arbitrary angle

T. N. Gerasimenko, P. A. Polyakov|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2011

Vibration and Dynamic Analysis参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出一种基于三参数的保角映射技术，用于建模具有弯曲拐角的薄膜导线中的电流分布，避免了在尖锐拐角处出现的非物理解的无限电流密度。通过将拐角圆化近似为圆弧，并利用Schwarz–Christoffel变换求解拉普拉斯方程，作者推导出电流密度的解析表达式，表明峰值电流密度随圆化半径的增加而减小，从而为微电子设计中安全拐角半径的估算提供了一种实用方法。

ABSTRACT

Current distributions in thin film wires bent at different angles were investigated with a conformal mapping method. The technique of angles rounding using three parameters was suggested. This technique enabled to obtain a smooth line having a similar form with an arc of a circle and to avoid infinite current density in the angle. The dependency between current density and the radius of rounding was examined.

研究动机与目标

• 解决微电子中使用的薄膜导体在尖锐拐角处出现的非物理无限电流密度预测问题。
• 克服因尖角处电流密度奇点导致的仿真数值不稳定性问题。
• 开发一种解析方法，用于建模具有圆化拐角的弯曲薄膜导线中的真实电流分布。
• 建立拐角圆化半径与峰值电流密度之间的定量关系，以指导设计规则。
• 通过保角映射技术，将现有解析解（此前仅限于90°角）扩展至任意弯曲角度。

提出的方法

• 通过Schwarz–Christoffel变换应用保角映射，将上半平面中的复势映射到具有任意角度α的弯曲薄膜导线几何形状。
• 使用复势 W(z) = U(z) + iV(z)，其中U(z)为流函数，V(z)为标量势，满足Cauchy–Riemann方程。
• 定义边界条件，使得电流在导线边缘均匀流动，上下边界具有恒定的流函数值。
• 引入三个参数（δ₁, δ₂, γ）以建模光滑的、类似圆弧的拐角圆化，优于以往的两参数模型。
• 当 1−β = P/Q（有理数）时，以初等函数形式表达映射关系，从而实现对30°、60°和120°等角度的解析积分。
• 通过映射函数的逆函数求解Schwarz–Christoffel积分，得到电流密度 |dW/dz|⁻¹，并对给定的α和h/k数值求解该系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对具有尖锐拐角的薄膜导线中的电流密度分布进行解析建模，以避免非物理奇点？
• RQ2 拐角圆化对在任意角度弯曲的薄膜导体中峰值电流密度有何影响？
• RQ3 三参数保角映射技术能否生成光滑的、类似圆弧的拐角，避免无限电流密度，同时保持解析可解性？
• RQ4 圆化半径ρ与拐角处最大电流密度之间的定量关系是什么？
• RQ5 对于给定的弯曲角度α和导体几何参数（h/k），在电流集中不超过安全限值之前，最大可允许的圆化半径ρ是多少？

主要发现

• 所提出的三参数保角映射技术成功生成了光滑的、类似圆弧的拐角轮廓，避免了理想化尖角模型所预测的无限电流密度。
• 对于h/k = 1.5的120°弯曲，最大可允许的圆化半径ρ小于0.8k，以维持数值稳定性和物理一致性。
• 对于h/k = 2的30°弯曲，最大可接受的圆化半径仅为0.012k，表明对拐角几何形状具有极高的敏感性。
• 随着ρ的增加，圆化拐角处的电流密度显著降低，如30°、60°和120°角度下的图表所示。
• 将峰值电流密度归一化至远场值j₋∞后，其随ρ的增加而单调递减，表明更大的半径可有效减小电流集聚。
• 该方法实现了对任意角度弯曲的薄膜导线中电流分布的解析求解，扩展了以往仅限于90°弯曲的研究工作。