[论文解读] Application of covariant analytic mechanics with differential forms to gravity with Dirac field

Satoshi Nakajima|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Cosmology and Gravitation Theories被引用 5

一句话总结

本文使用微分形式的协变解析力学研究了狄拉克场及其与引力的耦合，建立了显式的微分同胚与规范协变的哈密顿形式体系。研究证明，在该框架下，二阶形式无法一致地描述包含高阶曲率项的引力理论，揭示了该方法在处理此类理论时的根本局限性。

ABSTRACT

We apply the covariant analytic mechanics with the differential forms to the Dirac field and the gravity with the Dirac field. The covariant analytic mechanics treats space and time on an equal footing regarding the differential forms as the basic variables. A significant feature of the covariant analytic mechanics is that the canonical equations, in addition to the Euler-Lagrange equation, are not only manifestly general coordinate covariant but also gauge covariant. Combining our study and the previous works (the scalar field, the abelian and non-abelian gauge fields and the gravity without the Dirac field), the applicability of the covariant analytic mechanics is checked for all fundamental fields. We study both the first and second order formalism of the gravitational field coupled with matters including the Dirac field. It is suggested that gravitation theories including higher order curvatures cannot be treated by the second order formalism in the covariant analytic mechanics.

研究动机与目标

• 将协变解析力学——此前已应用于标量场、规范场及引力场但未包含狄拉克场——扩展至包含狄拉克场。
• 利用微分形式建立引力与狄拉克场耦合的显式广义坐标变换与规范协变的哈密顿形式体系。
• 研究协变解析力学中的二阶形式是否能一致地描述包含高阶曲率不变量的引力理论。
• 阐明纯引力拉格朗日形式中全微分项的作用，及其对正确推导运动方程的必要性。

提出的方法

• 使用微分形式表述狄拉克场，即使在平直时空下也引入 tetrad（ vierbein，纽结）作为必要的几何结构。
• 应用协变解析力学框架——其中拉格朗日量为 D-形式，共轭动量为微分形式——确保在微分同胚与规范变换下显式协变。
• 通过将旋量场 ψ 及其共轭动量形式 Π 视为独立变量，推导狄拉克场的哈密顿形式。
• 分析引力与狄拉克场耦合的一阶形式，使用 tetrad 与自旋连接作为独立变量，并识别出需引入拉格朗日乘子形式的约束。
• 从爱因斯坦-希尔伯特形式出发，减去全微分项 $ L'_{\rm{G}} = \frac{1}{2\kappa}d(e_{ab} \wedge \omega^{ab}) $ 推导二阶形式，证明其对正确运动方程的必要性。
• 利用 4D 特有的微分恒等式（如霍奇对偶与列维-奇维塔张量关系）计算哈密顿形式的导数，并纠正文献中先前的错误。

实验结果

研究问题

• RQ1 协变解析力学框架结合微分形式能否一致地扩展至狄拉克场？
• RQ2 协变解析力学中的二阶形式是否允许对包含高阶曲率不变量的引力理论进行一致描述？
• RQ3 在该形式体系中，纯引力拉格朗日形式里全微分项 $ d(e_{ab} \wedge \omega^{ab}) $ 的作用是什么？
• RQ4 与以往方法相比，该形式体系中引力与狄拉克场耦合的哈密顿形式在协变性与约束结构方面有何不同？
• RQ5 该形式体系中的泊松括号结构是否与约束系统中使用的狄拉克括号方法相容？

主要发现

• 协变解析力学框架可成功扩展至狄拉克场，即使在平直时空下也需引入 tetrad（vierbein），反映了该场的旋量性质。
• 当使用列维-奇维塔连接时，该形式体系中纯引力的哈密顿形式与先前工作一致，但使用 4D 特有恒等式计算导数时需进行修正。
• 为获得正确的运动方程，纯引力的拉格朗日形式必须排除全微分项 $ \frac{1}{2\kappa}d(e_{ab} \wedge \omega^{ab}) $；若保留该形式将导致不一致。
• 引力与狄拉克场耦合的一阶形式是需引入拉格朗日乘子形式的约束系统，确认了约束的存在。
• 在该协变解析力学框架下，包含高阶曲率不变量的引力理论无法通过二阶形式一致处理。
• 首次在该形式体系中引入泊松括号，但其在量子化、正则变换及与狄拉克括号相容性方面的完整影响仍有待进一步研究。