[论文解读] Application of Jordan Decomposition to Non-Hermitian Lattice Models with Spectrally-Isolated Lower Dimensional States

Yang Yu, Minwoo Jung+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 35被引用 28

一句话总结

本文提出一种乔丹分解框架，用于分析具有谱隔离能级的非厄米晶格模型，以替代不稳定的特征值分解，实现对左、右特征态的精确识别。该方法被应用于非厄米四极绝缘体，揭示零能角态的响应具有非局域性和反直觉的特性，具体取决于激励位置，据此将系统分类为平凡、近厄米和非局域三种类型，依据其谱特性和响应特性。

ABSTRACT

When analyzing non-Hermitian lattice systems, the standard eigenmode decomposition utilized for the analysis of Hermitian systems must be replaced by Jordan decomposition. This approach enables us to identify the correct number of the left and right eigenstates of a large finite-sized lattice system, and to form a complete basis for calculating the resonant excitation of the system. Specifically, we derive the procedure for applying Jordan decomposition to a system with spectrally-isolated states. We use a non-Hermitian quadrupole insulator with zero-energy corner states as an example of a large system whose dimensionality can be drastically reduced to derive a low-dimensional "defective" Hamiltonian describing such localized states. Counter-intuitive and non-local properties of the resonant response of the system near zero energy are explained using the Jordan decomposition approach. Depending on the excitation properties of the corner states, we classify our non-Hermitian quadrupolar insulator into three categories: trivial, near-Hermitian, and non-local.

研究动机与目标

• 为解决在具有谱隔离能级的大尺寸有限晶格中，标准特征值分解在非厄米系统中存在不稳定性和不完整性的问题。
• 开发一种稳健的方法，利用乔丹分解识别完整的左、右特征态基，实现对共振激发响应的精确计算。
• 基于零能角态的局域化和激发特性，将非厄米四极绝缘体分类为三种类型——平凡、近厄米和非局域。

提出的方法

• 利用舒尔分解将孤立本征值分组，并提取不变子空间，实现哈密顿量的分块对角化。
• 对孤立子块应用乔丹分解，得到缺陷哈密顿量形式 H = PJP⁻¹，其中 J 为上三角矩阵，对角线上为本征值。
• 通过 H 和 Hᵀ 的舒尔分解，识别左、右乔丹基向量（广义特征向量），构成系统动力学的完整基。
• 通过乔丹分解重构预解式 (E − H + iΓ)⁻¹，求解受驱方程，实现对共振响应的精确计算。
• 将该方法应用于具有非对称胞内跃迁和实数胞间跃迁的非厄米四极绝缘体模型，保持亚晶格对称性。
• 通过解析和数值方法验证近似本征态，确认其在开放边界条件下具有指数局域化和谱稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用更稳定且完整的替代方法取代标准特征值分解，以分析具有谱隔离能级的非厄米晶格系统？
• RQ2 为何非厄米角态的共振响应表现出依赖于激励位置的非局域和反直觉行为？
• RQ3 是什么决定了非厄米四极绝缘体被归类为平凡、近厄米或非局域三种类型？
• RQ4 有限体能隙和实谱的存在如何影响零能角态的局域化和激发特性？
• RQ5 当特征值分解因数值不稳定性而失效时，乔丹分解能否准确描述共振激发的动力学？

主要发现

• 乔丹分解方法成功识别了非厄米系统中完整的左、右特征态基，解决了特征值分解固有的“维度缺失”问题。
• 在近厄米区域（|λ| > |t| + |γ|），存在四个谱隔离的零能角态，每个局域于一个独立角点，且左、右特征向量均局域于同一角点。
• 在中间区域（|t² − γ²|¹ᐟ² < |λ| < |t| + |γ|），尽管代数重数为四，仅存在两个线性无关的角态，表明存在几何简并。
• 在左上角激励时，会在右下角态产生微弱响应，表明在中间区域中表现出非局域且反直觉的共振行为。
• 系统被分类为平凡、近厄米或非局域三种类型，取决于左、右乔丹基向量的相对局域化特性以及激励响应模式。
• 解析验证表明，角态波函数是哈密顿量的近似本征态，在热力学极限下边界处呈现指数衰减。