[论文解读] Application of Optimal Transport and the Quadratic Wasserstein Metric to Full-Waveform Inversion

Yunan Yang, Björn Engquist+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2016

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 17被引用 9

一句话总结

本论文提出在全波形反演（FWI）中使用二次 Wasserstein 距离（$W_2$）作为匹配度量函数，以克服传统 $L^2$-范数方法固有的周期性折叠问题和对噪声的敏感性。通过将地震数据视为概率分布，并利用 Monge-Ampère 方程或逐道 1D 传输方法计算最优传输成本，该方法实现了更快、更稳健的全局最小值收敛，数值结果表明，在 Marmousi、Camembert 和 BP 模型上，与基于 $L^2$ 的 FWI 相比，其分辨率更高且模型误差更低。

ABSTRACT

Conventional full-waveform inversion (FWI) using the least-squares norm ($L^2$) as a misfit function is known to suffer from cycle skipping. This increases the risk of computing a local rather than the global minimum of the misfit. In our previous work, we proposed the quadratic Wasserstein metric ($W_2$) as a new misfit function for FWI. The $W_2$ metric has been proved to have many ideal properties with regards to convexity and insensitivity to noise. When the observed and predicted seismic data are regarded as two density functions, the quadratic Wasserstein metric corresponds to the optimal cost of rearranging one density into the other, where the transportation cost is quadratic in distance. The difficulty of transforming seismic signals into nonnegative density functions is discussed. Unlike the $L^2$ norm, $W_2$ measures not only amplitude differences, but also global phase shifts, which helps to avoid cycle skipping issues. In this work, we build on our earlier method to cover more realistic high-resolution applications by embedding the $W_2$ technique into the framework of the adjoint-state method and applying it to seismic relevant 2D examples: the Camembert, the Marmousi, and the 2004 BP models. We propose a new way of using the $W_2$ metric trace-by-trace in FWI and compare it to global $W_2$ via the solution of the Monge-Ampère equation. With corresponding adjoint source, the velocity model can be updated using the l-BFGS method. Numerical results show the effectiveness of $W_2$ for alleviating cycle skipping issues and sensitivity to noise. Both mathematical theory and numerical examples demonstrate that the quadratic Wasserstein metric is a good candidate for a misfit function in seismic inversion.

研究动机与目标

• 通过用二次 Wasserstein 距离（$W_2$）替换匹配度量函数，解决传统 $L^2$-范数全波形反演（FWI）中的周期性折叠和对噪声敏感的问题。
• 开发一种实用的、高分辨率的 $W_2$-FWI 框架，集成伴随态方法以实现高效的梯度计算。
• 比较通过 Monge-Ampère 求解器实现的全局 $W_2$ 与逐道 $W_2$ 计算方法，评估其在真实 2D 地震模型上的性能表现。
• 证明基于 $W_2$ 的 FWI 即使在存在噪声或非光滑数据的情况下，也能实现比 $L^2$-FWI 更快的收敛速度和更低的模型误差。
• 通过在复杂地下模型上的数值实验，验证 $W_2$ 的理论优势，如凸性及对相位偏移的不敏感性。

提出的方法

• 将观测到的和预测的地震数据视为表示概率分布的非负密度函数，以实现最优传输。
• 通过求解 Monge-Ampère 方程获得全局 2D 最优传输的 $W_2$ 匹配度量，确保传输成本的精确计算。
• 采用基于精确 1D 最优传输公式的逐道 $W_2$ 方法，实现在单个地震道上的快速且稳健的计算。
• 利用最优传输映射的梯度推导 $W_2$ 匹配度量的伴随源，实现与伴随态方法的集成。
• 使用 l-BFGS 优化算法，结合 $W_2$-基梯度和伴随源更新速度模型。
• 应用归一化技术（如线性缩放）以提升收敛性和稳定性，尤其在高分辨率模型中。

实验结果

研究问题

• RQ1 与标准 $L^2$ 范数相比，二次 Wasserstein 距离（$W_2$）是否能有效缓解全波形反演中的周期性折叠问题？
• RQ2 通过 Monge-Ampère 求解器实现的全局 $W_2$ 方法与逐道 $W_2$ 方法在收敛速度和模型精度方面相比如何？
• RQ3 $W_2$ 在多大程度上提升了地震反演对噪声和非光滑数据的鲁棒性？
• RQ4 基于 $W_2$ 的 FWI 是否能生成更优的初始模型，使其可在更高频率下进一步通过 $L^2$ 反演优化？
• RQ5 在真实 2D 模型中，信号归一化在 $W_2$-基 FWI 的稳定性和收敛性中起到何种作用？

主要发现

• 在 Marmousi 模型上，基于 $W_2$ 的 FWI 相较于逐道 $W_2$ 方法，其收敛模型与真实速度模型之间的 $L^2$ 误差降低了 25%。
• 逐道 $W_2$ 方法产生了平滑的反演结果，其分辨率与 $L^2$-基 FWI 相当，但收敛更快且无周期性折叠现象。
• 从经过 20 次迭代的逐道 $W_2$ 方法生成的粗糙模型出发，$W_2$ 反演在相同迭代次数下达到的模型误差低于 $L^2$ 方法，表明其在构建初始模型方面具有显著优势。
• 通过 Monge-Ampère 求解器实现的全局 $W_2$ 方法对数据分辨率更具鲁棒性，尤其在数据梯度被良好解析时表现更优，但对数据密度要求更高以保证精度。
• 结果中出现的振荡伪影与数值 PDE 求解器误差及 $W_2$ 对噪声的不敏感性有关，表明 TV 正则化可有效缓解此类效应。
• 基于 $W_2$ 的 FWI 计算速度与标准 $L^2$ FWI 相当，但收敛性与分辨率更优，尤其在存在周期性折叠问题时表现突出。