[论文解读] Application of the Level-$2$ Quantum Lasserre Hierarchy in Quantum Approximation Algorithms

Ojas Parekh, Kevin Thompson|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文首次将二级量子 Lasserre 层次结构应用于 QMA-完全的量子最大割问题的量子近似算法中。通过利用纠缠的单体性约束以及一种由二级 SDP 松弛引导的新颖舍入过程，作者实现了 0.531 的近似因子——优于以往的乘积态方法——并证明二级结构能提供一级结构无法实现的物理上一致的界。

ABSTRACT

The Lasserre Hierarchy is a set of semidefinite programs which yield increasingly tight bounds on optimal solutions to many NP-hard optimization problems. The hierarchy is parameterized by levels, with a higher level corresponding to a more accurate relaxation. High level programs have proven to be invaluable components of approximation algorithms for many NP-hard optimization problems. There is a natural analogous quantum hierarchy, which is also parameterized by level and provides a relaxation of many (QMA-hard) quantum problems of interest. In contrast to the classical case, however, there is only one approximation algorithm which makes use of higher levels of the hierarchy. Here we provide the first ever use of the level-$2$ hierarchy in an approximation algorithm for a particular QMA-complete problem, so-called Quantum Max Cut. We obtain modest improvements on state-of-the-art approximation factors for this problem, as well as demonstrate that the level-$2$ hierarchy satisfies many physically-motivated constraints that the level-$1$ does not satisfy. Indeed, this observation is at the heart of our analysis and indicates that higher levels of the quantum Lasserre Hierarchy may be very useful tools in the design of approximation algorithms for QMA-complete problems.

研究动机与目标

• 开发一种新的量子近似算法，用于 QMA-完全的量子最大割问题，突破乘积态解的限制。
• 证明二级量子 Lasserre 层次结构在提供更紧致、物理上一致的松弛方面优于一级结构的实用性。
• 弥合物理约束（如纠缠的单体性）与量子近似中的半定规划松弛之间的差距。
• 将量子最大割问题的最佳已知近似因子提升至超越乘积态方法 0.498 限制的水平。
• 证明二级 Lasserre 松弛能够捕捉一级结构无法满足的非平凡量子约束。

提出的方法

• 将二级量子 Lasserre 层次结构应用于量子最大割问题，得到一个比一级结构更紧致的半定规划，从而实现更优的界。
• 使用纠缠单体性不等式（此前由 Lieb-Mattis 理论推导）作为约束，这些约束在二级松弛中自然满足。
• 设计一种舍入算法，基于二级 SDP 解构造一个纠缠的量子态，而非依赖于乘积态。
• 引入一种混合舍入策略：利用 SDP 解指导非乘积态的构造，同时单独界定了乘积态变体的性能。
• 通过验证解向量满足关键不等式（包括二次顶点约束和奇圈约束）来证明二级松弛的可行性。
• 利用动态规划处理度数为 2 的图（路径和环），在线性时间内计算最大权匹配，用于舍入过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 二级量子 Lasserre 层次结构能否有效用于设计 QMA-完全问题的新近似算法？
• RQ2 二级层次结构是否满足一级结构无法捕捉的物理动机约束（如纠缠的单体性）？
• RQ3 基于二级结构的算法能否在量子最大割问题上实现优于现有乘积态方法的近似因子？
• RQ4 是否存在物理界（如 Lieb-Mattis 所得）与量子 Lasserre 层次结构之间的正式联系？
• RQ5 由二级 SDP 指导的舍入算法能否生成具有可证明近似保证的非乘积量子态？

主要发现

• 二级量子 Lasserre 层次结构为量子最大割问题提供了 0.531 的近似因子，优于以往乘积态方法的 0.498766。
• 二级松弛满足一级结构无法满足的纠缠单体性约束，提供了物理上一致的松弛。
• 作者首次建立了 Lieb-Mattis 单体性界与量子 Lasserre 层次结构第二级之间的显式联系。
• 较弱的松弛（包括一级）无法推导出纠缠单体性界，证明了更高阶层次结构的必要性。
• 算法中乘积态近似部分在 SDP 值较低的边（xij ≤ 5/9）上实现了 0.557931 的近似因子，优于最坏情况下的 0.498766。
• 舍入算法在高 SDP 值边构成的图上使用最大权匹配，由于度数有界（≤2），可在 O(n) 时间内完成计算。