[论文解读] Applications of a grassmannian technique in hypersurfaces

Eric Riedl, David Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 16

一句话总结

本文引入一种Grassmannian方法来研究超曲面，为非常一般超曲面的Kobayashi猜想（当 $ d \geq d_{2n-3} $ 时）提供了简化证明，刻画了完全交中Chow等价点的性质，并将非常一般点的Seshadri常数与全局Seshadri常数联系起来。该方法通过参数空间几何，统一处理了有理等价性与双曲性问题。

ABSTRACT

In this paper we further develop a Grassmannian technique used to prove results about very general hypersurfaces and present three applications. First, we provide a short proof of the Kobayashi Conjecture given previous results on the Green-Griffiths-Lang Conjecture. Second, we characterize the dimension of the space of Chow-equivalent points on a very general hypersurface, proving the remaining cases of a conjecture of Chen, Lewis and Sheng and providing a short, alternate proof for many of the already known cases. Finally, we relate Seshadri constants of very general points to Seshadri constants of arbitrary points of very general hypersurfaces.

研究动机与目标

• 开发并应用Grassmannian方法，以解决关于非常一般超曲面的若干开放问题。
• 利用Green-Griffiths-Lang猜想的已有结果，为Kobayashi猜想提供简化证明。
• 刻画非常一般完全交上与固定点Chow等价的点的集合的维数，从而解决Chen、Lewis与Sheng猜想的大部分情形。
• 将非常一般点处的Seshadri常数与超曲面上的全局Seshadri常数联系起来。
• 通过线与曲线的参数空间，提供一种统一的、几何化的有理等价性与双曲性分析方法。

提出的方法

• 使用Grassmannian参数空间来参数化超曲面上通过某点的直线与曲线，从而在族上实现统一分析。
• 将该方法应用于将非常一般点的性质推广至任意点在非常一般超曲面上的情形。
• 利用Roitman定理（关于Calabi-Yau完全交上点的有理等价性）来控制Chow等价子簇的维数。
• 通过在全族 $ \mathcal{U}_{n,\underline{d}} $ 中估计余维数，来控制与某点有理等价的点集的维数。
• 通过参数空间中纤维维数的论证，将一般点处的Seshadri常数与全局不变量联系起来。
• 利用定理2.3（来自先前工作）来控制有理等价或双曲性失效的子簇的余维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Grassmannian方法能否简化现有关于非常一般超曲面上双曲性的证明？
• RQ2 在非常一般完全交上，与固定点有理等价的点的集合的维数是多少？
• RQ3 非常一般点处的Seshadri常数如何与超曲面的全局Seshadri常数相关？
• RQ4 Grassmannian方法能否解决Chen-Lewis-Sheng猜想中剩余的情形？
• RQ5 在Green-Griffiths-Lang猜想的假设下，该方法能否被调整以证明Kobayashi猜想的最优边界 $ d \geq 2n-1 $？

主要发现

• 本文利用Grassmannian方法，为 $ d \geq d_{2n-3} $ 的情形提供了Kobayashi猜想的新且显著简化证明，其中 $ d_n = \left\lfloor \frac{n^4}{3}(n\log(n\log(24n)))^n \right\rfloor $。
• 对于多度为 $ (d_1,\dots,d_k) $ 的完全交，与固定点 $ p $ 有理等价的点的集合的维数至多为 $ 2n - k - \sum d_i $，且在除可能 $ 2n - k - \sum d_i = -1 $ 外的所有情形下该界是紧的。
• 当 $ 2n - k - \sum d_i = -1 $ 时，与另一点有理等价的点集为可数个点的并集，但可能非空。
• 若在 $ \mathbb{P}^{2n-1} $ 中同度数的非常一般超曲面上，某一般点处的Seshadri常数至少为 $ r $，则该非常一般超曲面 $ X \subset \mathbb{P}^n $ 的Seshadri常数 $ \epsilon(X) $ 至少为 $ r $。
• 该方法在除 $ 2n - k - \sum d_i = -1 $ 外的所有情形下证明了Chen-Lewis-Sheng猜想，且其证明比以往的Hodge理论方法更简短。
• 在Calabi-Yau情形（即 $ 2n - k - \sum d_i = -1 $）下，该方法无法证明完整猜想，原因在于存在与其它点有理等价的一般点，此点由一条与超曲面以重数 $ d-1 $ 相交的直线构造出的反例所揭示。