[论文解读] Applications of Equivariant Cohomology

Michèle Vergne|ArXiv.org|Jul 17, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 44被引用 36

一句话总结

本文在等变上同调中发展了局部化技术，用于计算广义函数（如辛体积和横椭圆算子的指标），并将其与多面体几何及向量分拆函数联系起来。建立了局部欧拉-麦克劳林公式，并通过迭代留数和巴尔维诺克分解方法，提供了高效算法，用于计算有理多面体中的整数点数量及样条函数。

ABSTRACT

We will discuss the equivariant cohomology of a manifold endowed with the action of a Lie group. Localization formulae for equivariant integrals are explained by a vanishing theorem for equivariant cohomology with generalized coefficients. We then give applications to integration of characteristic classes on symplectic quotients and to indices of transversally elliptic operators. In particular, we state a conjecture for the index of a transversally elliptic operator linked to a Hamiltonian action. In the last part, we describe algorithms for numerical computations of values of multivariate spline functions and of vector-partition functions of classical root systems.

研究动机与目标

• 建立具有广义系数的等变上同调中的局部化原理，以计算具有李群作用的流形上等变类的积分。
• 解决逆傅里叶变换问题：从局部化公式中恢复广义函数在某一点的取值。
• 通过将有理多面体的体积与整数点数量与上同调不变量关联，建立等变上同调与离散几何之间的联系。
• 利用迭代留数与巴尔维诺克的带符号分解，开发高效算法，用于计算经典根系的多重样条函数与向量分拆函数。
• 证明有理多面体的局部欧拉-麦克劳林公式，将整数点数量表示为各面处局部贡献之和，通过作用于面的微分算子实现。

提出的方法

• 利用维滕的局部化定理与帕拉丹恒等式（在 M−C 上等价于 1=0 的等变上同调中），将全局积分约化为向量场不动点集处的局部贡献。
• 通过与超平面排列中房间相关的循环 Z(𝔠) 上的迭代留数，将等变积分表示为不动点分支的和。
• 应用德·孔奇尼-普罗塞奇的递归算法，计算有理多面体的积分循环 Z(𝔠)。
• 利用巴尔维诺克的带符号锥分解与 LLL 算法，多项式时间内计算局部欧拉-麦克劳林公式中的微分算子 D_F。
• 通过在 Z(𝔠) 上积分，导出多面体 P_B(ξ) 的体积与整数点数量的积分公式，从而得到以留数表示的闭式表达。
• 基于迭代留数实现数值算法，用于计算向量分拆函数、科斯塔nt分拆函数以及经典李代数中的张量积重数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用等变上同调中的局部化技术，将等变积分的傅里叶变换表示为局部贡献之和？
• RQ2 辛体积的马尔施登-韦因斯坦商与原始流形上等变体积的逆傅里叶变换之间存在何种精确关系？
• RQ3 能否仅基于每个面处的横截锥结构，算法化地推导并计算有理多面体的局部欧拉-麦克劳林公式？
• RQ4 计算有理多面体中整数点数量的计算复杂度是多少？与迭代留数方法相比，巴尔维诺克算法表现如何？
• RQ5 如何通过局部化与上同调数据，计算与哈密顿作用相关的横椭圆算子的指标？

主要发现

• 局部欧拉-麦克劳林公式将有理多面体中整数点上多项式之和表示为各面之和，每个面的权重为仅依赖于该面处横截锥的微分算子 D_F。
• 当维度与展开阶数固定时，利用巴尔维诺克的带符号分解与 LLL 算法，有理多面体 P 或其缩放 tP 中的整数点数量可在多项式时间内计算。
• 有理多面体 P_B(ξ) 的体积由包含迭代留数的积分公式给出：(2iπ)^{-r} ∫_{Z(𝔠)} ⟨ξ,v⟩^{n−r} / ∏_{a=1}^n ⟨β_a,v⟩ dv，该公式可通过德·孔奇尼-普罗塞奇递归计算。
• 向量分拆函数 N_B(ξ)（即 ξ 表示为向量 β_a 的非负整数组合的计数）具有留数积分公式，且在系统接近单模时可高效计算。
• 对于运输多面体 Transport(k,ℓ,r,c)，传统方法耗时 17 年 CPU 时间，而基于留数的新算法在结构化系统中显著优于传统方法。
• 局部算子 D_F 具有有理系数，当维度与展开阶数固定时，可在多项式时间内计算，从而可高效逼近次数不超过 k 的埃赫哈特多项式。