[论文解读] Applications of PDEs to the study of affine surface geometry

Peter Gilkey, Xabier Valle Regueiro|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通过拟爱因斯坦方程，运用偏微分方程（PDEs）对类型 A 的仿射曲面几何进行分类，表明该方程的解可唯一确定仿射联络的线性等价类。关键结果是对平坦类型 A 联络及秩-1 里奇张量的联络，实现了在仿射等价关系下的完整分类，并通过基于 PDE 的技术，在纯局部、非紧致的设定下，对非退化里奇张量的模空间进行了详细分析，且无需依赖黎曼度量。

ABSTRACT

If $\mathcal{M}=(M, abla)$ is an affine surface, let $\mathcal{Q}(\mathcal{M}):=\ker(\mathcal{H}+\frac1{m-1}ρ_s)$ be the space of solutions to the quasi-Einstein equation for the crucial eigenvalue. Let $ ilde{\mathcal{M}}=(M, ilde abla)$ be another affine structure on $M$ which is strongly projectively flat. We show that $\mathcal{Q}(\mathcal{M})=\mathcal{Q}( ilde{\mathcal{M}})$ if and only if $ abla= ilde abla$ and that $\mathcal{Q}(\mathcal{M})$ is linearly equivalent to $\mathcal{Q}( ilde{\mathcal{M}})$ if and only if $\mathcal{M}$ is linearly equivalent to $ ilde{\mathcal{M}}$. We use these observations to classify the flat Type~$\mathcal{A}$ connections up to linear equivalence, to classify the Type~$\mathcal{A}$ connections where the Ricci tensor has rank 1 up to linear equivalence, and to study the moduli spaces of Type~$\mathcal{A}$ connections where the Ricci tensor is non-degenerate up to affine equivalence.

研究动机与目标

• 通过 PDE 方法，对平坦类型 A 仿射曲面联络在仿射等价关系下进行分类。
• 对具有秩-1 里奇张量的类型 A 联络在仿射等价关系下进行分类。
• 研究具有非退化里奇张量的类型 A 联络的模空间结构（在仿射等价关系下）。
• 建立拟爱因斯坦方程解与仿射结构不变量之间的对应关系。
• 为先前通过微分几何方法获得的几何分类结果提供分析性证明。

提出的方法

• 本文定义了在曲面上仿射联络下拟爱因斯坦方程的解空间，即 Q(M) = ker(H + 1/(m−1)ρs)。
• 利用海森算子 H 的临界特征值及对称里奇张量 ρs 来刻画 Q(M)。
• 通过分析 Q(M) 空间之间的线性等价性，推导出仿射结构的等价性，证明 Q(M) = Q(M̃) 当且仅当 ∇ = ∇̃。
• 根据里奇张量的符号型对模空间进行分类：正定、不定或负定。
• 该方法通过对称群作用构造模空间的基本区域，并识别出来自 Q(M) 中多项式解的例外射线。
• 分析过程完全基于局部设定，不依赖紧致性或黎曼度量，而是通过将 PDE 技术应用于仿射联络实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 当两个曲面上的仿射结构在解空间满足拟爱因斯坦方程时，何时是线性等价的？
• RQ2 如何根据里奇张量的符号型对类型 A 仿射联络的模空间进行分类？
• RQ3 Q(M) 中的多项式解在模空间中起什么作用，以划分出不同的区域？
• RQ4 能否仅通过 PDE 分析实现对平坦类型 A 联络的分类？
• RQ5 模空间中的对称群作用与边界曲线如何反映仿射结构的几何不变量？

主要发现

• 拟爱因斯坦方程的解空间 Q(M) 唯一确定了仿射联络：Q(M) = Q(M̃) 当且仅当 ∇ = ∇̃。
• Q(M) 空间的线性等价性成立，当且仅当其对应的仿射结构是线性等价的。
• 所有平坦类型 A 仿射曲面几何结构均为强射影平坦，且线性等价于一个平坦模型。
• 具有正定里奇张量的类型 A 联络的模空间由一条曲线 σr 和一条例外射线 (7,10)+t(1,4)，t≥0 所界定，该射线在 Q(M) 包含多项式解时出现。
• 对于不定里奇张量，模空间无限延伸，并包含一条边界曲线 σr 和一条射线 (7,10)−t(1,4)，t≥0，对应于负定情形。
• 模空间中的例外射线将解空间 Q(M) 包含三个实指数函数的区域与包含复指数函数的区域分隔开，其中前者位于两条射线之间。