[论文解读] Applications of Steiner symmetrization to some extremal problems in geometric function theory

Ronen Peretz|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2016

Analytic and geometric function theory参考文献 3被引用 16

一句话总结

本文将施泰纳对称化应用于几何函数论中的极值问题，聚焦于单位圆盘内解析函数的精确不等式。研究证明，在对称化下，单芽函数的边界值的 $L^p$-范数被最小化，对 $p=2$ 建立了精确界限，并确定了不等式失效的临界阈值 $p$。

ABSTRACT

In this paper we investigate properties of the Steiner symmetrization in the complex plane. We use two recursive dynamic processes in order to derive some sharp inequalities on analytic functions in the unit disk. We answer a question that was asked by Albert Baernstein II, regarding the coefficients of circular symmetrization. We mostly deal with the Steiner symmetrization $G$ of an analytic function $f$ in the unit disk $U$. We pose few problems we can not solve. An intriguing one is that of the inequality $$ \int_{0}^{2π} |f(re^{iθ})|^{p}dθ\le\int_{0}^{2π} |G(re^{iθ})|^{p}dθ,\,\,0

研究动机与目标

• 研究复平面上单位圆盘内解析函数的施泰纳对称化性质。
• 解决阿尔伯特·贝恩斯坦二世提出的关于圆对称化系数的问题。
• 在对称化下推导单芽函数边界值 $L^p$-范数的精确不等式。
• 确定不等式 $\int_0^{2\pi} |f(re^{i\theta})|^p d\theta \leq \int_0^{2\pi} |G(re^{i\theta})|^p d\theta$ 成立的 $p$ 的上确界，其中 $G$ 是 $f$ 的施泰纳对称化形式。
• 刻画泛函 $N(p,\alpha) = \inf_{f \in S(p,\alpha)} \int_0^{2\pi} |f'(e^{i\theta})| d\theta$ 的极值函数。

提出的方法

• 利用涉及施泰纳对称化和共形映射的两种递归动态过程，分析极值函数。
• 应用利特尔伍德次序定理和施瓦茨引理，比较次序函数及其范数。
• 使用黎曼映射定理，将单连通区域共形映射到单位圆盘。
• 利用收缩因子 $c_{\phi_n}$ 的无穷乘积，将原函数 $f$ 与对称化极限 $G$ 关联起来。
• 通过面积积分 $\pi R^2 = \int_0^{2\pi} \Re\{f(e^{i\theta})\} \Re\{e^{i\theta} f'(e^{i\theta})\} d\theta$ 推导出极限共形映射 $G$ 的关键公式。
• 利用从 $c_{\phi_n}$ 无穷乘积导出的收缩因子 $c = \max\left\{ \frac{1}{G'(0)}, \frac{\alpha}{\|G\|_2} \right\}$ 建立精确估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $p \in (0, \infty)$，不等式 $\int_0^{2\pi} |f(re^{i\theta})|^p d\theta \leq \int_0^{2\pi} |G(re^{i\theta})|^p d\theta$ 成立，其中 $G$ 是 $f$ 的施泰纳对称化形式？
• RQ2 在 $p=2$ 时该不等式成立但对大 $p$ 失效的前提下，该不等式保持有效的 $p$ 的上确界是多少？
• RQ3 在 $S(p,\alpha)$ 中，$N(p,\alpha)$ 的极值函数是否存在？其像区域需满足何种几何性质？
• RQ4 递归对称化过程如何收敛？收缩因子在极限中起什么作用？
• RQ5 边界积分 $\int_0^{2\pi} \Re\{f(e^{i\theta})\} \Re\{e^{i\theta} f'(e^{i\theta})\} d\theta$ 的实部，$G'(0)$ 的精确界限是什么？

主要发现

• 不等式 $\int_0^{2\pi} |f(re^{i\theta})|^p d\theta \leq \int_0^{2\pi} |G(re^{i\theta})|^p d\theta$ 在 $p=2$ 时成立，且该界限是精确的。
• 该不等式成立的 $p$ 的上确界严格小于 $\infty$，但确切值尚不明确。
• $N(p,\alpha)$ 的极值函数必须将单位圆盘共形映射到凸区域，因为非凸或裂口区域会通过次序关系导致矛盾。
• 递归对称化过程的极限函数 $G$ 满足 $G(z) = R z$，其中 $R = \left( \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \Re\{f(e^{i\theta})\} \Re\{e^{i\theta} f'(e^{i\theta})\} d\theta \right)^{1/2}$。
• 建立了精确估计 $\max\left\{1,\alpha\right\} \cdot \left( \frac{1}{\pi} \int \Re\{f\} \Re\{e^{i\theta} f'\} d\theta \right)^{-1/2} \leq \max\left\{ \frac{1}{G'(0)}, \frac{\alpha}{\|G\|_2} \right\} \leq 1$，且在极限情况下取等。
• 当 $\alpha$ 较小时，不等式 $G'(0) \leq \left( \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \Re\{f(e^{i\theta})\} \Re\{e^{i\theta} f'(e^{i\theta})\} d\theta \right)^{1/2}$ 是精确的。