[论文解读] Applications of the Jacobi group to Quantum Mechanics

Stefan Berceanu, Andrei H Gheorghe|ArXiv.org|Dec 2, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 16

一句话总结

本文构建了雅可比群的薛定谔-魏尔表示与离散系列表示的无穷小全纯实现，引入压缩态并推导出显式的矩阵元、多项式算子的期望值以及不确定度关系。结果表明，压缩态在位置与动量上表现出减少的量子噪声，曼德尔参数用于量化光子统计算，且识别出由复数圆盘条件定义的压缩区域。

ABSTRACT

Infinitesimal holomorphic realizations for the Schrödinger-Weil representation and the discrete series representations of the Jacobi group are constructed. Explicit expressions of the basic differential operators are obtained. The squeezed states for the unitary irreducible representation of the Jacobi group are introduced. Matrix elements of the squeezed operators, expectation values of polynomial operators in infinitesimal generators of the Jacobi group, the squeezing region and a description of Mandel's parameter are presented.

研究动机与目标

• 构建雅可比群的薛定谔-魏尔表示与离散系列表示的无穷小全纯实现。
• 为雅可比群的幺正不可约表示定义并分析压缩态。
• 利用超几何函数与勒让德函数计算压缩算符与位移算符的矩阵元。
• 推导雅可比群无穷小生成元的多项式算子的期望值。
• 表征压缩区域，并分析压缩态中光子统计的曼德尔参数。

提出的方法

• 以玻色子产生与湮灭算符及 SL(2,R) 生成元表示雅可比群的无穷小生成元。
• 通过李代数的复化引入算符 $ a, a^ op, K_ullet $，满足标准玻色子关系与 $ ext{sl}(2,bR) $ 对易关系。
• 通过生成元的指数形式定义压缩算符 $ S(w) $ 与位移算符 $ D(eta) $，当 $ w o 0 $ 时恢复为相干态。
• 推导离散系列表示中 $ S(w) $ 的矩阵元为超几何函数：$ raket{ ilde{ heta}_{n'}^{[k]}|S(w)| ilde{ heta}_n^{[k]}} = rac{ u_{kn} w^s}{ u_{kn'} s!} (1-|w|^2)^h F(-n, s+n+2h; s+1; |w|^2) $。
• 引入压缩态向量 $ T(eta,w) ho = S(-w)D(-eta) ho D(eta)S(w) $，实现真空态与数态的变换。
• 计算在压缩与位移作用下变换后的算符 $ ilde{a}, ilde{K}_ullet $，从而实现期望值的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过无穷小生成元实现雅可比群的薛定谔-魏尔表示与离散系列表示的全纯实现？
• RQ2 在雅可比群背景下，压缩算符与位移算符的矩阵元为何？
• RQ3 雅可比群压缩态中位置与动量算符的不确定度关系如何表现？
• RQ4 曼德尔参数在位移与压缩态中的行为如何？何时指示亚泊松统计？
• RQ5 在复数 $ w $-平面上，雅可比群表示中量子压缩发生的区域为何？

主要发现

• 离散系列表示中 $ S(w) $ 的矩阵元可表示为超几何函数：$ raket{ ilde{ heta}_{n'}^{[k]}|S(w)| ilde{ heta}_n^{[k]}} = rac{ u_{kn} w^s}{ u_{kn'} s!} (1-|w|^2)^h F(-n, s+n+2h; s+1; |w|^2) $，其中 $ h = (2k-1)/4 $。
• 不确定度积满足 $ raket{q^2}raket{p^2} = raket{qp}^2 + rac{ar{h}^2}{4} $，对 $ T(eta,w) ho_0 $ 成立，确认压缩态中海森堡不确定度极限被饱和。
• 压缩发生在区域 $ ig| (2n_0+1)w + 2n_0 ig| < 1 $，其中 $ n_0 = n + 1/2 $，该区域在 $ w $-平面上构成一个复数圆盘。
• 对于 $ T(eta,0) ho_0 $，有 $ raket{q^2}raket{p^2} = ar{h}^2/4 $，确认相干态为最小不确定度态。
• 曼德尔参数为 $ Q(eta,w) = rac{(4n_0^2+3)|w|^2 + 4n_0|etaar{w}+ar{eta}|^2(1-|w|^2)}{2n_0(1-|w|^4) + (2|eta|^2-1)(1-|w|^2)^2} - 1 $，当 $ n_0=0 $ 或 $ |eta|=1/ar{ ho} $ 时 $ Q=0 $。
• 对于 $ T(0,w) ho_n $，当 $ |w|^2 = rac{1}{2(2n_0+1)}ig( ig(16n_0^4 + 24n_0^2 - 3ig)^{1/2} - 4n_0^2 - 1 ig) $ 时 $ Q=0 $，表明在特定 $ w $ 处呈现泊松统计。