[论文解读] Applications of the Ohsawa-Takegoshi Extension Theorem to Direct Image Problems

Ya Deng|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文应用Ohsawa-Takegoshi $L^2$扩张定理，为光滑射影代数簇上扭曲全纯canonical丛的直接像的通用全局生成性建立有效界。证明了对于一个映射 $f: X ightarrow Y$，其中 $Y$ 是维数为 $n$ 的光滑簇，当 $l \geq k(\lfloor n/\epsilon(L,y) \rfloor + 1)$ 时，层 $f_*(K_X^{\otimes k}) \otimes L^l$ 在 $Y$ 的一般点处全局生成，其中 $\epsilon(L,y)$ 是在点 $y$ 处关于一个ample线丛 $L$ 的Seshadri常数。该结果改进了Fujita型猜想，并在广义KLT设定下确认了Demailly-Peternell-Schneider提出的问题，推广了关于weak Fano和KLT Fano簇的结果。

ABSTRACT

In the first part of the paper, we study a Fujita-type conjecture by Popa and Schnell, and give an effective bound on the generic global generation of the direct image of the twisted pluricanonical bundle. We also point out the relation between the Seshadri constant and the optimal bound. In the second part, we give an affirmative answer to a question by Demailly-Peternell-Schneider in a more general setting. As an application, we generalize the theorems by Fujino and Gongyo on images of weak Fano manifolds to the Kawamata log terminal cases, and refine a result by Broustet and Pacienza on the rational connectedness of the image.

研究动机与目标

• 为扭曲全纯canonical丛的直接像的通用全局生成性提供有效界，回应Popa与Schnell提出的Fujita型猜想。
• 解决Demailly、Peternell与Schneider关于纤维化中基空间反canonical丛伪有效性的提问。
• 将Fujino与Gongyo关于weak Fano簇像的结果推广至Kawamata对数终端（KLT）情形。
• 改进Broustet与Pacienza关于在适当正性假设下映射像的有理连通性的结果。

提出的方法

• 使用带有奇异hermitian度量的Ohsawa-Takegoshi $L^2$扩张定理，在纤维上构造全局截面。
• 利用Seshadri常数 $\epsilon(L,y)$ 量化ample线丛的局部正性，并推导出对扭量 $l$ 的有效界。
• 将 $L^2$ 扩张定理应用于具有奇异度量 $h_0 = h_E h h_{D'}$ 的扭曲线丛 $L = -m^2(K_{X'} + D') - 2f'^*A_Y + m^2D'$，确保纤维上乘子理想层平凡。
• 利用Hölder不等式验证在奇异度量下截面的可积性，从而保证纤维上上同调的非零性。
• 应用Stein分解将 $X'$ 上的上同调与基空间 $\tilde{Y}$ 上的上同调联系起来，证明 $-K_Y$ 的有效性和伪有效性。
• 利用Boucksom等人关于有限态射下伪有效性的结果，推导出 $-K_Y$ 是big的。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ohsawa-Takegoshi扩张定理能否用于推导全纯canonical丛直接像全局生成性的有效界？
• RQ2 若 $-K_X$ 伪有效，且其非nef支集不映射到 $Y$，是否能推出 $-K_Y$ 伪有效？
• RQ3 在何种条件下，$f_*(K_X^{\otimes k}) \otimes L^l$ 在 $Y$ 的一般点处全局生成？最优的 $l$ 扭量界是什么？
• RQ4 能否将关于weak Fano簇的结果推广至KLT Fano情形？
• RQ5 在何种条件下，映射的像模其反canonical丛的非nef支集是有理连通的？

主要发现

• 对于光滑射影簇之间的映射 $f: X \to Y$ 且 $\dim Y = n$，当 $l \geq k(\lfloor n/\epsilon(L,y) \rfloor + 1)$ 时，层 $f_*(K_X^{\otimes k}) \otimes L^l$ 在一般点 $y \in Y$ 处全局生成，其中 $\epsilon(L,y)$ 是 $L$ 在点 $y$ 处的Seshadri常数。
• 当在非常一般点 $y$ 处有 $\epsilon(L,y) \geq 1$ 时，界改进为 $l \geq k(n+1)$，从而在一般点处证实了Popa与Schnell的猜想1.1。
• 当 $K_Y$ 伪有效时，$l$ 的界变为 $l \geq n^2 + 2$，与 $k$ 无关，适用于 $m(K_X + \Delta)$ 为Cartier的klt对 $(X,\Delta)$ 的情形。
• 本文对Demailly-Peternell-Schneider的问题给出了肯定回答：若 $-K_X$ 伪有效且其非nef支集不支配 $Y$，则 $-K_Y$ 伪有效，且在温和假设下实际上为big。
• 像 $Y$ 模 $-K_Y$ 的非nef支集是有理连通的，推广了Broustet与Pacienza的结果。
• 证明通过展示存在非零截面属于 $H^0(Y, -lK_Y - A_Y)$ 对大 $l$ 成立，利用有限态射与上同调下降，确立了 $-K_Y$ 是big的。