[论文解读] Applying the Fokker--Planck equation to grating-based x-ray phase and dark-field imaging

Kaye S. Morgan, David M. Paganin|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2019

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 62被引用 40

一句话总结

本文将福克-普朗克方程的有限差分形式应用于模拟光栅式X射线相位与暗场成像中的漂移（相位信号）和扩散（暗场信号），揭示了衰减、相位与暗场信号之间的串扰。该方法为理解光束元传播（包括边缘引起的边界衍射波和透镜效应）提供了统一的数学框架，并为解决多对比度X射线成像中的逆问题奠定了基础。

ABSTRACT

X-ray imaging has conventionally relied upon attenuation to provide contrast. In recent years, two complementary modalities have been added; phase contrast and dark-field x-ray imaging, capturing weakly attenuating and sub-pixel sample structures respectively. These three modalities can be accessed using a crystal analyser, a grating interferometer or by looking at a directly-resolved grid, grating or speckle pattern. Grating and grid-based methods extract a differential phase signal by measuring how far a feature in the illumination has been shifted transversely due to the presence of a sample. The dark-field signal is extracted by measuring how the visibility of the structured illumination is decreased, typically due to the presence of sub-pixel structures in a sample. The strength of the dark-field signal may depend on the grating period, the pixel size and the set-up distances, and additional dark-field signal contributions may be seen as a result of strong phase effects or other factors. In this paper we show that the finite-difference form of the Fokker--Planck Equation can be applied to describe the drift (phase signal) and diffusion (dark-field signal) of the periodic or structured illumination used in phase contrast x-ray imaging with gratings, in order to better understand any cross-talk between attenuation, phase and dark-field x-ray signals. In future work, this mathematical description could be used as a basis for new approaches to the inverse problem of recovering both phase and dark-field information.

研究动机与目标

• 开发一个统一的数学框架，以理解光栅式X射线成像中相位对比与暗场信号之间的相互作用。
• 利用福克-普朗克方程建模样品引起的光束元漂移（相位）与展宽（暗场）如何源于波前演化。
• 研究相位、暗场与衰减信号之间的串扰效应，特别是边缘附近及聚焦效应的影响。
• 将福克-普朗克模型扩展至包含实际成像因素，如源尺寸、多色性与探测器分辨率。
• 为未来同时恢复相位与暗场信息的逆问题求解提供理论基础。

提出的方法

• 将福克-普朗克方程表述为二维随机过程，描述X射线光束元的概率密度函数的时间演化。
• 应用福克-普朗克方程的有限差分形式，以建模由相位梯度与散射引起的横向光束元偏移（漂移，D1）与展宽（扩散，D2）。
• 通过在不同样品条件下求解福克-普朗克方程，推导出下游探测器平面上的强度分布解析表达式。
• 通过将边界衍射波（杨-马吉-鲁比诺维奇波）建模为边缘附近增强暗场信号的来源，引入边缘效应。
• 通过将样品视为薄透镜，引入位置相关的漂移与扩散项，对透镜效应进行建模。
• 将模型扩展以包含实际成像因素：通过高斯卷积处理探测器像素尺寸，通过源平均或附加扩散项处理扩展光源，通过光谱积分处理多色照明。

实验结果

研究问题

• RQ1 福克-普朗克方程如何用于建模光栅式X射线成像中相位与暗场信号的同步演化？
• RQ2 边缘附近增强的暗场信号的来源是什么？如何在福克-普朗克框架内捕捉该现象？
• RQ3 样品引起的透镜效应如何影响光束元概率密度函数的漂移与扩散分量？
• RQ4 源尺寸、多色性与探测器分辨率在多大程度上影响测量的相位与暗场信号？这些因素如何建模？
• RQ5 福克-普朗克模型能否推广以适用于单光栅与干涉成像两种设置？

主要发现

• 福克-普朗克方程成功地将光栅式X射线成像中的相位（漂移）与暗场（扩散）信号建模为光束元传播的随机过程。
• 由边缘引起的暗场增强被解释为边界衍射波的贡献，其增加了一个标准散射模型未捕捉到的局部扩散项。
• 样品引起的透镜效应引入了位置相关的漂移与扩散，可在福克-普朗克方程中通过空间变化的系数进行建模。
• 该模型考虑了实际成像限制：探测器像素尺寸通过卷积降低可见度，扩展光源通过附加扩散项导致模糊，多色照明通过光谱积分处理。
• 该框架提供了一致的数学描述，将单光栅、散斑追踪与干涉成像模式统一于单一随机模型之下。
• 该方法通过实现从测量强度分布中同时恢复相位与暗场信息，为多对比度X射线成像中的逆问题求解提供了基础。