[论文解读] Approach to thermal equilibrium in harmonic crystals with polyatomic lattice

Vitaly A. Kuzkin|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2018

Thermal properties of materials参考文献 55被引用 11

一句话总结

本文研究了具有多原子晶格的无限简谐晶格中热平衡的实现方式，重点关注原胞内不同自由度的时间依赖动能温度。通过晶格动力学方程的精确解，推导出由动能与势能之间以及不同自由度之间能量重分布引起的温度振荡的解析公式，从而得出一个非等分定理，该定理将最终平衡温度与初始条件关联起来。

ABSTRACT

We study transient thermal processes in infinite harmonic crystals with complex (polyatomic) lattice. Initially particles have zero displacements and random velocities such that distribution of temperature is spatially uniform. Initial kinetic and potential energies are different and therefore the system is far from thermal equilibrium. Time evolution of kinetic temperatures, corresponding to different degrees of freedom of the unit cell, is investigated. It is shown that the temperatures oscillate in time and tend to generally different equilibrium values. The oscillations are caused by two physical processes: equilibration of kinetic and potential energies and redistribution of temperature among degrees of freedom of the unit cell. An exact formula describing these oscillations is obtained. At large times, a crystal approaches thermal equilibrium, i.e. a state in which the temperatures are constant in time. A relation between equilibrium values of the temperatures and initial conditions is derived. This relation is refereed to as the non-equipartition theorem. For illustration, transient thermal processes in a diatomic chain and graphene lattice are considered. Analytical results are supported by numerical solution of lattice dynamics equations. ${\bf Keywords}$: thermal equilibrium; stationary state; approach to equilibrium; polyatomic lattice; complex lattice; kinetic temperature; harmonic crystal; transient processes; equipartition theorem; temperature matrix.

研究动机与目标

• 理解具有复杂（多原子）晶格的无限简谐晶格中的瞬态热过程。
• 分析与原胞内不同自由度相关的动能温度的时间演化。
• 推导出平衡温度与初始条件之间的理论关系，从而得出非等分定理。
• 为远离平衡态的系统提供热平衡实现过程的解析与数值验证。
• 将能量重分布过程（动能-势能以及不同自由度之间）的理解扩展至等分定理范式之外。

提出的方法

• 以矩阵形式表述原胞的运动方程，以描述具有任意最近邻相互作用和简谐局域势的多原子晶格。
• 采用晶格动力学方程的精确解，计算每个自由度的动能温度的时间演化。
• 推导出动能温度振荡行为的精确解析表达式，其源于两种物理过程：动能与势能的平衡化以及不同自由度之间的温度重分布。
• 使用基于协方差的公式描述温度矩阵的时间演化，从而推导出平衡值。
• 应用广义哈密顿形式体系，结合哈密顿矩阵的迹和偏量的守恒律，推导出能量分布的约束条件。
• 通过双原子链和石墨烯晶格的晶格动力学方程的数值求解进行验证，结果与解析预测一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在简谐晶格中，多原子原胞内不同自由度的动能温度如何随时间演化？
• RQ2 在趋向热平衡的过程中，驱动动能温度振荡行为的物理机制是什么？
• RQ3 当初始动能与势能不相等时，动能温度的最终平衡值由什么决定？
• RQ4 系统的初始状态如何影响自由度间温度分布的长期行为？
• RQ5 能否推导出一个非等分定理，将复杂晶格中简谐晶格的平衡温度与初始条件关联起来？

主要发现

• 原胞内不同自由度的动能温度随时间表现出阻尼振荡，最终趋于不同的平衡值。
• 振荡行为源于两种竞争过程：动能与势能的平衡化以及自由度之间的温度重分布。
• 推导出一个精确的解析公式，描述温度矩阵的时间演化，完整捕捉了振荡与弛豫动力学。
• 建立了非等分定理，表明平衡温度依赖于初始条件，且在不同自由度间通常不相等。
• 对于双原子链和石墨烯，晶格动力学方程的数值解证实了分析预测，包括温度振荡的振幅与频率。
• 最终的平衡态表现为温度在空间和时间上均匀，与热平衡一致，尽管初始能量分布不均匀。