[论文解读] Approaching $\frac{3}{2}$ for the $s$-$t$-path TSP

Vera Traub, Jens Vygen|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出了一种多项式时间近似算法，用于解决 $s$-$t$-路径 TSP 问题，其近似比为 $\frac{3}{2} + \varepsilon$，其中 $\varepsilon > 0$ 为任意固定值。该算法通过动态猜测孤立的窄割，强化线性规划松弛以提高繁忙割的取值，并利用递归动态规划计算生成树和 $T$-连接多面体中的奇偶性校正向量。

ABSTRACT

We show that there is a polynomial-time algorithm with approximation guarantee $\frac{3}{2}+ε$ for the $s$-$t$-path TSP, for any fixed $ε>0$. It is well known that Wolsey's analysis of Christofides' algorithm also works for the $s$-$t$-path TSP with its natural LP relaxation except for the narrow cuts (in which the LP solution has value less than two). A fixed optimum tour has either a single edge in a narrow cut (then call the edge and the cut lonely) or at least three (then call the cut busy). Our algorithm "guesses" (by dynamic programming) lonely cuts and edges. Then we partition the instance into smaller instances and strengthen the LP, requiring value at least three for busy cuts. By setting up a $k$-stage recursive dynamic program, we can compute a spanning tree $(V,S)$ and an LP solution $y$ such that $(\frac{1}{2}+O(2^{-k}))y$ is in the $T$-join polyhedron, where $T$ is the set of vertices whose degree in $S$ has the wrong parity.

研究动机与目标

• 为缩小 Christofides 算法在 $s$-$t$-路径 TSP 问题中 $\frac{5}{3}$ 的近似比与对称 TSP 问题中已知的最优 $\frac{3}{2}$ 比值之间的差距。
• 开发一种新方法，以克服以往方法在处理窄割（尤其是线性规划解中值小于二的窄割）时的局限性。
• 通过结合新颖的动态规划框架与线性规划强化，实现对 $s$-$t$-路径 TSP 问题近似比任意接近 $\frac{3}{2}$ 的结果。
• 证明可通过递归划分与针对特定割的强化手段，有效界定 $s$-$t$-路径 TSP 问题自然线性规划松弛的整数性间隙。

提出的方法

• 该算法使用 $k$ 阶递归动态规划来猜测孤立的窄割和边，其中窄割指线性规划值小于二的割，而孤立割指在最优旅行中恰好包含一条边的割。
• 将图划分为更小的子实例，并通过要求繁忙割（在最优旅行中至少包含三条边的割）的值至少为三来强化线性规划。
• 该算法计算一个生成树 $S^*$ 和一个向量 $y^*$，使得 $\left(\frac{1}{2} + O(2^{-k})\right)y^*$ 属于 $T$-连接多面体，其中 $T$ 是 $S^*$ 中奇度顶点的集合，并对端点 $s$ 和 $t$ 进行调整。
• 动态规划使用窄割链，并确保奇偶性校正向量 $\lambda_1 y^*$ 满足所有 $T$-连接约束，特别是非孤立割的约束。
• 运行时间被限制在 $O\left(n^{6\lceil\log_2(1/\varepsilon)\rceil} \cdot p(n, \lceil\log_2(1/\varepsilon)\rceil)\right)$ 以内，其中 $p(n,k)$ 是求解具有 $O(kn)$ 个约束的线性规划所需的时间。
• 该方法仅依赖于线性规划值和窄割集合，而非显式的线性规划解，从而实现高效计算与递归优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一种新的算法框架，将 $s$-$t$-路径 TSP 问题的近似比改进至超过 $\frac{5}{3}$？
• RQ2 如何有效处理窄割（尤其是线性规划值小于二的窄割），以减小整数性间隙？
• RQ3 是否能够通过动态规划与线性规划强化，实现对 $s$-$t$-路径 TSP 问题近似比任意接近 $\frac{3}{2}$ 的结果？
• RQ4 对于固定的 $\varepsilon > 0$，实现 $\left(\frac{3}{2} + \varepsilon\right)$-近似解的 $s$-$t$-路径 TSP 问题的计算复杂度是多少？
• RQ5 是否可以设计一种递归动态规划方法，在保证多项式时间复杂度的同时维持恒定的近似比？

主要发现

• 该算法在多项式时间内实现了对任意固定 $\varepsilon > 0$ 的 $\frac{3}{2} + \varepsilon$ 近似比，显著优于此前 $s$-$t$-路径 TSP 问题的 $\frac{5}{3}$ 上限。
• 通过递归动态规划与策略性线性规划强化，$s$-$t$-路径 TSP 问题自然线性规划松弛的整数性间隙被界定为 $\frac{3}{2} + \varepsilon$。
• 对于任意固定的 $\varepsilon > 0$，运行时间是多项式时间，具体上限为 $O\left(n^{6\lceil\log_2(1/\varepsilon)\rceil} \cdot p(n, \lceil\log_2(1/\varepsilon)\rceil)\right)$，其中 $p(n,k)$ 是求解具有 $O(kn)$ 个约束的线性规划所需的时间。
• 该算法确保计算出的奇偶性校正向量 $\lambda_1 y^*$ 属于 $T$-连接多面体，从而保证 $T$-连接的成本至多为 $c(y^*)$。
• 该方法通过猜测孤立窄割并利用线性规划约束提高繁忙割的取值，有效处理了两类具有挑战性的割类型——孤立割与繁忙割。
• 该方法避免了对显式线性规划解的依赖，仅使用线性规划值和窄割集合，从而实现了高效的递归计算并保持了近似保证。