[论文解读] Approximability and proof complexity

Ryan O’Donnell, Yuan Zhou|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 4

一句话总结

该论文证明，有界次数的平方和（SOS）证明可高效认证两个著名难解优化问题的近似最优解：源自Khot–Vishnoi唯一博弈构造的Balanced-Separator和Max-Cut实例。论文证明，四次SOS证明可反驳Devanur等人整数规划间隙实例中存在良好平衡割的可能，而常数次SOS证明可对Khot–Vishnoi实例在95.2%范围内认证出真实Max-Cut最优值，其关键在于提出了一种新的SOS证明形式的KKL定理。

ABSTRACT

This work is concerned with the proof-complexity of certifying that optimization problems do \emph{not} have good solutions. Specifically we consider bounded-degree "Sum of Squares" (SOS) proofs, a powerful algebraic proof system introduced in 1999 by Grigoriev and Vorobjov. Work of Shor, Lasserre, and Parrilo shows that this proof system is automatizable using semidefinite programming (SDP), meaning that any $n$-variable degree-$d$ proof can be found in time $n^{O(d)}$. Furthermore, the SDP is dual to the well-known Lasserre SDP hierarchy, meaning that the "$d/2$-round Lasserre value" of an optimization problem is equal to the best bound provable using a degree-$d$ SOS proof. These ideas were exploited in a recent paper by Barak et al.\ (STOC 2012) which shows that the known "hard instances" for the Unique-Games problem are in fact solved close to optimally by a constant level of the Lasserre SDP hierarchy. We continue the study of the power of SOS proofs in the context of difficult optimization problems. In particular, we show that the Balanced-Separator integrality gap instances proposed by Devanur et al.\ can have their optimal value certified by a degree-4 SOS proof. The key ingredient is an SOS proof of the KKL Theorem. We also investigate the extent to which the Khot--Vishnoi Max-Cut integrality gap instances can have their optimum value certified by an SOS proof. We show they can be certified to within a factor .952 ($> .878$) using a constant-degree proof. These investigations also raise an interesting mathematical question: is there a constant-degree SOS proof of the Central Limit Theorem?

研究动机与目标

• 研究有界次数平方和（SOS）证明在认证优化问题不存在良好解方面的能力。
• 确定Balanced-Separator和Max-Cut问题的已知难解实例是否可被SOS高效反驳。
• 证明KKL定理存在四次SOS证明，从而支持对优化问题整数规划间隙的认证。
• 分析常数次SOS证明对Khot–Vishnoi Max-Cut实例的认证程度。
• 探讨更广泛的数学问题：是否存在常数次SOS证明形式的中心极限定理。

提出的方法

• 利用Lasserre半定规划层级与有界次数SOS证明之间的对偶性，分析证明的强度。
• 应用一种新颖的KKL定理SOS证明，通过四次SOS认证Balanced-Separator实例的整数规划间隙。
• 使用KKMO约化将唯一博弈实例转化为Max-Cut实例，并分析其SOS反驳能力。
• 通过期望标签一致性的局部一致性论证，从值至少为ε的分数赋值中推导出d次SOS反驳。
• 结合多项式恒等式与有界次数SOS推理，控制SDP松弛中误差项的大小。
• 利用对偶性与多项式不等式，为Khot–Vishnoi实例推导出度数Õ(1/δ²)的SOS反驳，置信度较高。

实验结果

研究问题

• RQ1 Devanur等人提出的Balanced-Separator整数规划间隙实例，能否通过低次SOS证明认证其不存在良好解？
• RQ2 KKL定理是否具有有界次数SOS证明？该证明是否可用于认证优化问题的整数规划间隙？
• RQ3 Khot–Vishnoi Max-Cut整数规划间隙实例在多大程度上可通过常数次SOS证明认证？
• RQ4 是否存在常数次SOS证明形式的中心极限定理？这将对证明复杂度产生何种影响？
• RQ5 认证给定Max-Cut实例的最优值与真实最优值之间存在显著差距，所需的最小SOS次数是多少？

主要发现

• 四次SOS证明可认证Devanur等人提出的Balanced-Separator实例的最优值超过整数规划间隙，解决了关键开放问题。
• KKL定理存在四次SOS证明，该证明在认证Balanced-Separator实例的困难性方面起关键作用。
• 对于ρ₀ ≈ −0.689的Khot–Vishnoi Max-Cut实例，常数次SOS半定规划可将最优值认证至真实值的95.2%以内。
• 对于一般ρ ∈ (−1, 0)，度数O(1)的SOS半定规划可将值认证至最优值的93.1%以内，该因子来源于arccos(ρ)/π表达式。
• 本研究表明，当分数赋值值至少为ε时，Khot–Vishnoi实例存在度数Õ(1/δ²)的SOS反驳，误差项通过多项式恒等式得到控制。
• 结果表明，常数次SOS证明可能强大到足以捕捉中心极限现象，从而提出开放问题：是否存在常数次SOS证明形式的中心极限定理。