[论文解读] Approximability Landscape of Welfare Maximization within Fair Allocations

Xiaolin Bu, Zihao Li+3 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2022

Game Theory and Voting Systems被引用 5

一句话总结

本文对不可分物品分配中在任意物品 envy-freeness（EFX）和一个物品 envy-freeness（EF1）约束下最大化社会福利的复杂度与可近似性进行了全面分析。研究建立了两人情况下的多项式时间近似方案（PTAS），在非归一化估值下对一般 $n$ 为 $O(n)$-近似，在归一化估值下为 $O(\sqrt{n})$-近似，并给出了紧致的不可近似性界。研究证明，归一化估值下的 EFX 价格为 $\Theta(\sqrt{n})$，解决了文献中一个开放问题。

ABSTRACT

Fair allocation of indivisible goods studies allocating $m$ goods among $n$ agents in a fair manner. While fairness is a fundamental requirement in many real-world applications, it often conflicts with (economic) efficiency. This raises a natural and important question: How can we identify the most welfare-efficient allocation among all fair allocations? This paper answers from the perspective of computational complexity. Specifically, we study the problem of maximizing utilitarian social welfare under two widely studied fairness criteria: envy-freeness up to any item (EFX) and envy-freeness up to one item (EF1). We examine both normalized and unnormalized valuations, where normalized valuations require that each agent's total utility for all items is identical. The key contributions of this paper can be summarized as follows: (i) we sketch the complete complexity landscape of welfare maximization subject to fair allocation constraints; and (ii) we provide interesting bounds on the price of fairness for both EFX and EF1. Specifically: (1) For $n=2$ agents, we develop polynomial-time approximation schemes (PTAS) and provide NP-hardness results for EFX and EF1 constraints; (2) For $n>2$ agents, under EFX constraints, we design algorithms that achieve approximation ratios of $O(n)$ and $O(\sqrt{n})$ for unnormalized and normalized valuations, respectively. These results are complemented by asymptotically tight inapproximability results. We also obtain similar results for EF1 constraints; (3) When the number of agents is a fixed constant, we show that the optimal solution can be computed in polynomial time by slightly relaxing the fairness constraints, whereas exact fairness leads to strong inapproximability; (4) Furthermore, our results imply the price of EFX is $Θ(\sqrt{n})$ for normalized valuations, which is unknown in the literature.

研究动机与目标

• 理解在不可分物品分配中，满足 EFX 和 EF1 公平性约束下最大化社会福利的计算复杂度与可近似性。
• 解决关于 EFX 价格的开放问题，特别是归一化估值下的情况。
• 为不同估值类型下的 EFX 和 EF1 设置开发具有紧致性能保证的近似算法。

提出的方法

• 通过利用 EFX 的结构特性和对物品序列的动态规划，设计了两人 EFX 分配的 PTAS。
• 在非归一化估值下，通过基于价值的划分策略，采用贪心分配策略，开发了针对一般 $n$ 的 $O(n)$-近似算法。
• 通过利用对称性和价值归一化来限制效用差异，提出了针对归一化估值的 $O(\sqrt{n})$-近似算法。
• 通过从最大独立集问题的归约，证明了 EFX 和 EF1 设置下紧致的不可近似性结果。
• 使用双准则近似难度证明：除非 P=NP，否则不存在 $(n^{1-\varepsilon}, 0.5+\varepsilon)$-近似。
• 通过比较无约束下的最优社会福利与在 EFX/EF1 约束下可实现的最大福利，分析公平性价格。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于两人情况，EFX 分配下最大化社会福利的可近似性如何？是否存在 PTAS？
• RQ2 当 $n > 2$ 时，在归一化和非归一化估值下，EFX 和 EF1 分配的紧致近似比是多少？
• RQ3 在归一化估值下，EFX 的价格是多少？与 EF1 的价格相比如何？
• RQ4 部分 EFX 分配是否可能比完全 EFX 分配带来更高的社会福利？这对近似算法有何影响？
• RQ5 EFX 和 EF1 约束下的社会福利最大化的不可近似性界是什么？

主要发现

• 对于 $n=2$ 位参与者，在 EFX 约束下最大化社会福利存在多项式时间近似方案（PTAS），且精确优化为 NP-难。
• 对于一般 $n>2$，在非归一化估值下实现了 $O(n)$-近似，在归一化估值下实现了 $O(\sqrt{n})$-近似。
• 在归一化估值下，EFX 的价格为 $\Theta(\sqrt{n})$，解决了文献中的一个开放问题。
• 在非归一化估值下，EFX 的价格为 $\Theta(n)$，与公平性约束导致的最坏情况损失一致。
• 对于 EF1，$n=2$ 时存在全多项式时间近似方案（FPTAS），而对 $n>2$ 建立了多项式不可近似性界。
• EFX 的不可近似性是紧致的：除非 P=NP，否则不存在 $(n^{1-\varepsilon}, 0.5+\varepsilon)$-双准则近似。