[论文解读] Approximate Association via Dissociation

Jie You, Jianxin Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用 15

一句话总结

本文提出了关联集问题的第一个非平凡近似算法，近似比为2.5，通过模分解和孪生类识别将其归约为加权解除集问题实现。该算法时间复杂度为O(mn)，与关联度极高的聚类编辑问题的最佳已知近似比一致。

ABSTRACT

A vertex set $X$ of a graph $G$ is an association set if each component of $G - X$ is a clique, or a dissociation set if each component of $G - X$ is a single vertex or a single edge. Interestingly, $G - X$ is then precisely a graph containing no induced $P_3$'s or containing no $P_3$'s, respectively. We observe some special structures and show that if none of them exists, then the minimum association set problem can be reduced to the minimum (weighted) dissociation set problem. This yields the first nontrivial approximation algorithm for association set, and its approximation ratio is 2.5, matching the best result of the closely related cluster editing problem. The reduction is based on a combinatorial study of modular decomposition of graphs free of these special structures. Further, a novel algorithmic use of modular decomposition enables us to implement this approach in $O(m n + n^2)$ time.

研究动机与目标

• 开发关联集问题的近似算法，目标是通过删除最少的顶点使图成为聚类图（不相交团的并集）。
• 解决关联集问题缺乏非平凡近似结果的问题，此前仅存在平凡的3-近似结果。
• 通过结构图分析和模分解，建立关联集与加权解除集问题之间的联系。
• 实现2.5的近似比，与关联度极高的聚类编辑问题的最佳已知结果一致。
• 设计一种高效的O(mn)时间算法，利用模分解和孪生类约化，适用于实际部署。

提出的方法

• 通过识别输入图中的孪生类，并将它们在商图Q中合并为加权顶点，将无权关联集问题归约为加权解除集问题。
• 应用模分解分析商图Q的结构，检测五类特定的禁止诱导子图（如箭头图、宝石图、C4等），这些子图会阻止Q成为三角形自由图或具有简单结构。
• 使用贪心过程检测并消除这些禁止子图，通过从模分解树中的模块删除顶点，确保剩余图Q为团或三角形自由图。
• 对于三角形自由的Q，应用已知的加权解除集问题的2.5-近似算法，直接为原始关联集问题提供2.5-近似解。
• 在整个过程中保持商图Q不变，并利用强模来高效追踪结构变化，确保顶点删除步骤的正确性。
• 通过处理模分解树中的三角形和模块，以O(mn)时间实现该算法，每次迭代均减小问题规模，且每步保持线性时间操作。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于此前最佳结果仅为平凡的3-近似，能否为关联集问题设计出非平凡的近似算法？
• RQ2 是否存在一种结构条件，使得关联集问题可被归约为加权解除集问题并保持有界的近似比？
• RQ3 模分解能否有效用于识别并消除阻碍商图成为三角形自由图或具有简单结构的障碍？
• RQ4 关联集问题的最佳可实现近似比是多少？能否与关联度极高的聚类编辑问题的近似比相匹配？
• RQ5 能否设计一种高效的O(mn)时间算法，利用孪生类和模分解实现该近似比？

主要发现

• 本文首次提出关联集问题的非平凡近似算法，近似比为2.5，与聚类编辑问题的最佳已知结果一致。
• 该算法通过将孪生类合并为商图Q中的加权顶点，将关联集问题归约为加权解除集问题。
• 该方法在模分解树中检测五类特定的禁止诱导子图（如箭头图、宝石图、C4等），并通过顶点删除消除它们，确保剩余商图Q为团或三角形自由图。
• 对于三角形自由的商图，算法应用已知的加权解除集问题2.5-近似算法，直接为原始问题提供2.5-近似解。
• 该算法时间复杂度为O(mn)，适用于大规模图，模分解过程的每一步均减小问题规模，同时保持正确性。
• 正确性依赖于以下事实：若五类禁止子图均不存在，则商图Q为平凡图或三角形自由图，从而可应用现有有界性能的近似技术。