[论文解读] Approximate Birkhoff-James orthogonality in the space of bounded linear operators

Kallol Paul, ‎Debmalya Sain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 11被引用 21

一句话总结

本文对赋范空间与希尔伯特空间上有界线性算子的两种近似Birkhoff-James正交性概念——记为 ⊥ǫ_D 和 ⊥ǫ_B——给出了完整的刻画。通过使用范数取值集 MT，建立了必要且充分条件，将先前结果推广至无穷维希尔伯特空间与一般赋范空间，关键结果表明：T⊥ǫ_B A 成立当且仅当存在 MT 中的向量满足涉及 A 的特定二次不等式，即使 MT 不对称或不连通。

ABSTRACT

There are two notions of approximate Birkhoff-James orthogonality in a normed space. We characterize both the notions of approximate Birkhoff-James orthogonality in the space of bounded linear operators defined on a normed space. A complete characterization of approximate Birkhoff-James orthogonality in the space of bounded linear operators defined on Hilbert space of any dimension is obtained which improves on the recent result by Chmieli\'nski et al. [ J. Chmieli\'nski, T. Stypula and P. W\'ojcik, extit{Approximate orthogonality in normed spaces and its applications}, Linear Algebra and its Applications, extbf{531} (2017), 305--317.], in which they characterized approximate Birkhoff-James orthogonality of linear operators on finite dimensional Hilbert space and also of compact operators on any Hilbert space.

研究动机与目标

• 刻画赋范空间上有界线性算子的两种不同近似Birkhoff-James正交性概念——⊥ǫ_D 与 ⊥ǫ_B。
• 将此前针对有限维空间与紧算子的结果推广至任意维数的希尔伯特空间及自反巴拿赫空间。
• 基于范数取值集 MT，建立希尔伯特空间上算子近似正交性的必要且充分条件。
• 提供一个统一框架，涵盖范数取值集不对称或不连通的情形，如 D ∪ (−D)。
• 通过刻画非紧、非有限维算子的正交性，解决先前工作中存在的局限性，包括不满足早期推论条件的算子。

提出的方法

• 以范数取值集 MT = {x ∈ SX : ∥Tx∥ = ∥T∥} 为核心工具，刻画正交关系。
• 采用两种近似正交性定义：⊥ǫ_D（基于 ∥x + λy∥ ≥ √(1−ǫ²)∥x∥）与 ⊥ǫ_B（基于 ∥x + λy∥² ≥ ∥x∥² − 2ǫ∥x∥∥λy∥）。
• 引入 x+ 与 x−（分别对应 λ ≥ 0 与 λ ≤ 0）及其 ǫ-变体 x+(ǫ) 与 x−(ǫ)，以定义算子的方向性行为。
• 对于自反巴拿赫空间上的紧算子，证明了 T⊥ǫ_D A 成立当且仅当存在满足特定 λ 区间内 ∥T + λA∥ ≥ √(1−ǫ²)∥T∥ 的范数取值向量。
• 对于 ⊥ǫ_B 情形，推导出基于二次不等式的条件：当 λ ≥ 0 与 λ ≤ 0 时，有 ∥Tx + λAx∥² ≥ ∥T∥² − 2ǫ∥T∥∥λA∥。
• 通过序列 {xn}、{yn} 满足 ∥Txn∥ → ∥T∥ 的逐次逼近方法，处理 MT 可能为空集或非紧的情形，尤其适用于一般赋范空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有界线性算子 T 在 ⊥ǫ_D 定义下与 A 满足近似Birkhoff-James正交？
• RQ2 当范数取值集 MT 不对称或不连通时，如何刻画 ⊥ǫ_B 正交性？
• RQ3 近似正交性的刻画能否从有限维空间与紧算子推广至一般希尔伯特空间？
• RQ4 范数取值集 MT 在确定非紧算子近似正交性中起何种作用？
• RQ5 在一般赋范空间中，两种不同的近似正交性定义（⊥ǫ_D 与 ⊥ǫ_B）之间有何关系？它们在何种条件下重合？

主要发现

• 对于 X 自反的 K(X, Y) 中的 T, A，T⊥ǫ_D A 成立当且仅当：(a) 存在 x ∈ MT，使得 Ax ∈ (Tx)+ 且对某特定区间内的 λ 有 ∥Txλ + λAxλ∥ ≥ √(1−ǫ²)∥T∥；或 (b) 对 y ∈ MT 且 Ay ∈ (Ty)− 的类似条件成立。
• 本文提供了 [7] 中定理 2.2 的替代证明，表明在有限维空间中，T⊥B A 当且仅当存在 x, y ∈ MT，使得 Ax ∈ (Tx)+ 且 Ay ∈ (Ty)−。
• 对于希尔伯特空间 H 上的紧算子 T ∈ K(H)，T⊥ǫ_B A 成立当且仅当存在 x ∈ MT，使得 Tx⊥ǫ_B Ax，即使 MT 不包含于 MA。
• 在一般情形下，对于任意赋范空间中的 T, A ∈ B(X, Y)，T⊥ǫ_B A 成立当且仅当：(a) 存在序列 {xn} 满足 ∥Txn∥ → ∥T∥ 且 lim ∥Axn∥ ≤ ǫ∥A∥；或 (b) 两序列 {xn}, {yn} 满足涉及 ǫn, δn → 0 的特定二次不等式。
• 定理 3.4 的刻画包含了早期结果未覆盖的算子，如 MT 不对称或不包含于 MA 的情形，展示了更广的适用性。
• 本文表明，定理 3.1 所涵盖的算子类比推论 3.1.1 与 3.1.2 更为广泛，通过 ℓ² 中 MT 不对称的反例得以说明。