[论文解读] Approximate Clustering via Metric Partitioning

Henzinger, Monika, Leniowski, Dariusz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文提出了一种准多项式时间 (1+ε)-近似算法，用于最小代价覆盖问题（MCC）和 k-聚类问题，采用度量划分和概率技术。该方法在 MCC 上实现了 (1+ε)-近似，在 k-聚类问题中使用 (1+ε)k 个球，优于以往的 3α 和 cα 近似保证。同时表明，在标准复杂性假设下，当 α 作为输入的一部分时，多项式时间 (1+ε)-近似对 MCC 是不可能的。

ABSTRACT

In this paper we consider two metric covering/clustering problems - extit{Minimum Cost Covering Problem} (MCC) and $k$-clustering. In the MCC problem, we are given two point sets $X$ (clients) and $Y$ (servers), and a metric on $X \cup Y$. We would like to cover the clients by balls centered at the servers. The objective function to minimize is the sum of the $α$-th power of the radii of the balls. Here $α\geq 1$ is a parameter of the problem (but not of a problem instance). MCC is closely related to the $k$-clustering problem. The main difference between $k$-clustering and MCC is that in $k$-clustering one needs to select $k$ balls to cover the clients. For any $\eps > 0$, we describe quasi-polynomial time $(1 + \eps)$ approximation algorithms for both of the problems. However, in case of $k$-clustering the algorithm uses $(1 + \eps)k$ balls. Prior to our work, a $3^α$ and a ${c}^α$ approximation were achieved by polynomial-time algorithms for MCC and $k$-clustering, respectively, where $c > 1$ is an absolute constant. These two problems are thus interesting examples of metric covering/clustering problems that admit $(1 + \eps)$-approximation (using $(1+\eps)k$ balls in case of $k$-clustering), if one is willing to settle for quasi-polynomial time. In contrast, for the variant of MCC where $α$ is part of the input, we show under standard assumptions that no polynomial time algorithm can achieve an approximation factor better than $O(\log |X|)$ for $α\geq \log |X|$.

研究动机与目标

• 设计度量覆盖和聚类问题的高效近似算法，特别是针对 α-幂次代价函数下的 MCC 和 k-聚类问题。
• 克服以往多项式时间算法在 MCC 和 k-聚类问题上仅能实现 3α 和 cα 近似所面临的局限。
• 探索当多项式时间 (1+ε)-近似被排除时，是否可在准多项式时间内实现这些问题的 (1+ε)-近似。
• 在 α 作为输入的一部分时，建立 MCC 的紧致不可近似性界，表明 O(log |X|) 是多项式时间近似因子的最佳可能值。
• 将方法推广至带设施开放成本的变体，证明其在基本 MCC 模型之外的可扩展性。

提出的方法

• 利用度量空间的概率划分构造与最优球相交较少的覆盖，利用最优解的结构特性。
• 采用基于度量划分的递归分解策略，其中每个划分独立处理以构建近似解。
• 对线性规划松弛得到的分数解应用舍入技术，通过仔细选择球半径确保 (1+ε)-近似。
• 使用受几何分治启发的分离定理，经适配后应用于一般度量空间，以限制划分与球相交的数量。
• 提出一种新颖的分析框架，通过将构造球的半径与最优解中的半径关联，界定向划分导致的成本增加。
• 将支配集问题归约至 MCC，以证明不可近似性，表明当 α 作为输入时，MCC 的 (c log |X|)-近似意味着 P = NP。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管多项式时间算法存在局限，是否可在准多项式时间内实现 MCC 和 k-聚类的 (1+ε)-近似？
• RQ2 当 α 作为输入的一部分时，MCC 在多项式时间内的最佳可能近似比是多少？
• RQ3 当 α > 1 时，度量空间中最优解的结构如何变化，能否在算法上加以利用？
• RQ4 用于 MCC 的技术能否自然地推广至处理设施开放成本？
• RQ5 在当前技术水平下，是否可能在准多项式时间内实现 k-聚类的 (1+ε)-近似？

主要发现

• 本文首次提出 MCC 和 k-聚类在准多项式时间内的 (1+ε)-近似算法，采用度量划分和概率方法。
• 对于 k-聚类，算法使用 (1+ε)k 个球实现 (1+ε)-近似，优于目前已知的多项式时间 cα 近似。
• 对于 MCC，当 α 作为输入的一部分时，本文证明在标准复杂性假设下，任何多项式时间算法都无法实现优于 O(log |X|) 的近似。
• 通过从最小支配集问题的归约建立不可近似性结果，表明当 α 作为输入时，MCC 的 (c log |X|)-近似意味着 P = NP。
• 该方法可推广至带设施开放成本的 MCC 变体，实现准多项式时间内的 (1+ε)-近似。
• 结果表明，即使在多项式时间 (1+ε)-近似不可行时，准多项式时间仍可实现这些问题的 (1+ε)-近似。