[论文解读] Approximate Consensus in Highly Dynamic Networks.

Bernadette Charron-Bost, Matthias Függer+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2014

Distributed systems and fault tolerance被引用 7

一句话总结

本文证明，在高度动态的网络中，即使拓扑结构不可预测地变化，只要每轮的通信图都包含一个有根生成树，近似一致性就是可实现的，即使协调者（根节点）任意变化。本文表明，简单的平均算法完全刻画了可解性，在 O(n^{n+1} log(1/ε)) 个同步轮次内可达到 ε 精度，且在有界消息延迟条件下可获得更紧的界。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the approximate consensus problem in highly dynamic networks in which topology may change continually and unpredictably. We prove that in both synchronous and partially synchronous systems, approximate consensus is solvable if and only if the communication graph in each round has a rooted spanning tree, i.e., there is a coordinator at each time. The striking point in this result is that the coordinator is not required to be unique and can change arbitrarily from round to round. Interestingly, the particularly simple class of averaging algorithms entirely captures the solvability issue of approximate consensus in that the problem is solvable if and only if it can be solved using any averaging algorithm. We show that approximate consensus can be achieved with precision of $\varepsilon$ in a coordinated network model in $O(n^{n+1} \log\frac{1}{\varepsilon})$ synchronous rounds, and in $O(\Delta n^{n\Delta+1} \log\frac{1}{\varepsilon})$ rounds when the maximum round delay for a message to be delivered is $\Delta$. We investigate various network models in which this exponential bound in the number of nodes reduces to a polynomial bound, and we prove that a general upper bound on the time complexity of averaging algorithms has to be exponential. We apply our results to networked systems with a fixed topology and classical benign fault models, and deduce both known and new results for approximate consensus in these systems. In particular, we show that for solving approximate consensus, a complete network can tolerate up to $2n-3$ arbitrarily located link faults at every round, in contrast with the impossibility result established by Santoro and Widmayer (STACS '89) showing that exact consensus is not solvable with $n-1$ link faults per round originating from the same node.

研究动机与目标

• 确定在高度动态网络中，拓扑结构不可预测变化时，求解近似一致性的必要与充分条件。
• 研究简单的平均算法是否能完全刻画此类系统中近似一致性的可解性。
• 在各种网络模型（包括有界消息延迟）下，建立近似一致性的最紧时间复杂度界。
• 将已知的在良性故障模型下（特别是存在链路故障的固定拓扑网络）的共识结果进行扩展。
• 调和并改进先前关于精确一致性的不可能性结果，表明在更强的故障模型下，近似一致性依然可行。

提出的方法

• 证明：在同步系统和部分同步系统中，近似一致性可解当且仅当每轮的通信图都包含一个有根生成树。
• 证明：近似一致性的可解性完全由平均算法类刻画，与网络动态性无关。
• 分析平均算法的收敛时间，推导出在 ε-精度下最坏情况下为 O(n^{n+1} log(1/ε)) 个同步轮次的上界。
• 将分析扩展至最大消息延迟为 Δ 的部分同步系统，得到轮次数上界为 O(Δ n^{nΔ+1} log(1/ε))。
• 识别出在某些网络模型中，时间复杂度的指数界可简化为多项式时间，但平均算法的一般上界必须为指数级。
• 将结果应用于具有良性故障的固定拓扑网络，推导出在链路故障下近似一致性的新可行性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高度动态、拓扑结构不可预测变化的网络中，近似一致性的必要与充分条件是什么？
• RQ2 在动态网络中，无论协调者如何变化，平均算法是否能完全刻画近似一致性的可解性？
• RQ3 在有界消息延迟下，实现 ε-精度的近似一致性，其最紧的时间复杂度界是什么？
• RQ4 在相同的故障模型下，近似一致性的可解性与精确一致性的可解性相比如何，特别是在容错能力方面？
• RQ5 在具有链路故障的固定拓扑网络中，每轮最多可容忍多少条链路故障，仍能实现近似一致性？

主要发现

• 近似一致性在高度动态网络中可解当且仅当每轮的通信图都包含一个有根生成树，即使根节点（协调者）在各轮之间任意变化。
• 平均算法类完全刻画了动态网络中近似一致性的可解性，即问题可解当且仅当其可通过任意一种平均算法求解。
• 在最坏情况下，达到 ε-精度的时间复杂度为 O(n^{n+1} log(1/ε)) 个同步轮次。
• 在有界消息延迟 Δ 下，时间复杂度增加至 O(Δ n^{nΔ+1} log(1/ε)) 轮，表明其同时依赖于网络规模和延迟。
• 在某些网络模型中，时间复杂度的指数界可简化为多项式时间，但平均算法的一般上界必须为指数级。
• 对于固定拓扑网络，完全连通网络每轮可容忍最多 2n−3 条任意位置的链路故障，仍能实现近似一致性，超过破坏精确一致性的 n−1 故障限制（Santoro 和 Widmayer, STACS '89）。