[论文解读] Approximate construction of rational approximations and the effect of error autocorrection. Applications

Grigori Litvinov|ArXiv.org|Jan 5, 2001

Numerical Methods and Algorithms参考文献 18被引用 16

一句话总结

本文研究了有理逼近方法中的误差自校正现象，即分子和分母系数误差相互补偿，使得即使在条件数很高的线性系统中，逼近精度仍能保持。研究表明，即使存在严重的系数扰动（例如相对误差达10⁻⁴），所得有理逼近仍能保持高精度，如对cos(x)、arctan(x)及其他初等函数的逼近，相对误差低至0.46×10⁻¹³。

ABSTRACT

Several construction methods for rational approximations to functions of one real variable are described in the present paper; the computational results that characterize the comparative accuracy of these methods are presented; an effect of error autocorrection is considered. This effect occurs in efficient methods of rational approximation (e.g., Pade approximations, linear and nonlinear Pade-Chebyshev approximations) where very significant errors in the coefficients do not affect the accuracy of the approximation. The matter of import is that the errors in the numerator and the denominator of a fractional rational approximant compensate each other. This effect is related to the fact that the errors in the coefficients of a rational approximant are not distributed in an arbitrary way but form the coefficients of a new approximant to the approximated function. Understanding of the error autocorrection mechanism allows to decrease this error by varying the approximation procedure depending on the form of the approximant. Some applications are described in the paper. In particular, a method of implementation of basic calculations on decimal computers that uses the technique of rational approximations is described in the Appendix. To a considerable extent the paper is a survey and the exposition is as elementary as possible.

研究动机与目标

• 理解为何有理逼近在系数计算受显著舍入误差影响时仍能保持高精度。
• 研究Padé与Padé–Chebyshev逼近中误差自相关性的机制。
• 证明标准不适定问题处理技术（如正则化）在此情境下会降低精度并增加计算成本。
• 表明误差自校正可简化并合理化逼近算法，无需额外变换。
• 提供一种在有限精度的十进制计算机上实现高精度有理逼近的实用方法。

提出的方法

• 使用线性代数系统计算实区间上函数的有理逼近式R(x) = P_n(x)/Q_m(x)的系数。
• 采用基于求解病态线性系统的计算方法，此类系统对扰动极为敏感。
• 在ICL–4–50与ES–1045计算机上进行计算机实验，比较不同平台下因舍入误差差异导致的逼近效果。
• 分析系数扰动的结构，并证明其形成对同一函数的新有理逼近。
• 提出修改构造过程以利用误差自校正特性，提升算法鲁棒性。
• 在附录中描述了该算法在Fortran中的实现，适用于十进制计算机。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何有理逼近在系数计算存在显著相对误差时仍能保持高精度？
• RQ2 有理逼近中分子与分母的误差如何相互作用以维持整体逼近质量？
• RQ3 为何标准正则化技术在此情境下无法提升精度，其对计算成本有何影响？
• RQ4 能否系统性地利用误差自校正效应以简化或增强有理逼近算法？
• RQ5 误差自校正能在多大程度上用于合理化那些在系数计算中数值不稳定的算法？

主要发现

• 在[−π/4, π/4]区间上，cos(x)的有理逼近（m=4, n=6）的相对误差为0.55×10⁻¹³，尽管系统条件数达10⁹，且系数扰动出现在第6至9位小数。
• 在[−1,1]区间上，arctan(x)的相对误差保持在0.5×10⁻¹¹，即使在ICL–4–50与ES–1045计算机上系数扰动达10⁻⁴，且系统条件数为10¹¹。
• 逼近误差在系数扰动下保持不变，因为扰动后的系数构成对同一函数的新逼近，从而实现误差补偿。
• 标准区间算术与正则化方法未能考虑此效应，反而可能降低精度，导致显著数字损失达三分之二。
• 误差自校正现象不仅限于Padé逼近，还扩展至线性与非线性Padé–Chebyshev逼近。
• 本文证明，误差自校正使得即使在系数计算不稳定的情况下，也能实现鲁棒且高精度的逼近，从而可在低精度十进制计算机上实际应用。