[论文解读] Approximate controllability and optimal control of impulsive fractional semilinear delay differential equations with non-local conditions

Lakshman Mahto, Syed Abbas|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2013

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文利用萨多夫斯基不动点定理、半群理论以及成本泛函的直接最小化方法，研究了具有非局部条件的脉冲分数阶半线性时滞微分方程的近似可控性与最优控制问题。关键贡献在于在较弱的利普希茨条件与紧致性条件下，证明了广义解与最优控制的存在性，并通过希尔伯特空间设定下的具体实例加以验证。

ABSTRACT

In this paper we study the approximate controllability and existence of optimal control of impulsive fractional semilinear delay differential equations with non-local conditions. We use Sadovskii's fixed point theorem, semigroup theory of linear operators and direct method for minimizing a functional to establish our results. At the end we give an example to illustrate our analytical findings.

研究动机与目标

• 研究具有非局部初值条件的脉冲分数阶半线性时滞微分方程的近似可控性。
• 通过直接最小化成本泛函，建立此类系统最优控制的存在性。
• 将现有关于可控性与最优控制的研究成果，推广至具有脉冲、时滞与非局部条件的分数阶系统。
• 为工程与物理领域中具有记忆效应与突变行为的实际系统提供可应用的理论框架。

提出的方法

• 利用萨多夫斯基不动点定理，证明脉冲分数阶时滞系统广义解的存在性。
• 应用扇形线性算子的半群理论，处理 $ D_t^eta $（其中 $ \beta \in (1,2) $）的分数阶导数项。
• 采用直接方法最小化成本泛函 $ J(u) $，在成本泛函下半连续且凸的假设下，确保最优控制的存在性。
• 通过涉及预解算子 $ S_\alpha(t) $ 与非线性项及脉冲的利普希茨条件的范数估计，建立控制序列的收敛性。
• 利用巴尔德拉克定理，确认成本泛函的下确界在最优控制处被取到。
• 通过一个具体实例（在 $ L^2(0,\pi) $ 上的分数阶偏微分方程）验证理论结果的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有非局部条件的脉冲分数阶半线性时滞系统的广义解是近似可控的？
• RQ2 当成本泛函为下半连续且凸时，能否保证此类系统的最优控制存在？
• RQ3 脉冲、时滞与非局部初值条件如何影响分数阶系统的可控性与最优控制？
• RQ4 扇形算子与解析半群在确保解的存在性与正则性方面起什么作用？

主要发现

• 在非线性项与脉冲满足较弱的利普希茨与紧致性条件时，系统 (1.1) 存在广义解。
• 当算子 $ A $ 为扇形算子且控制到状态映射为紧算子时，可实现近似可控性，从而保证可达状态的像集在状态空间中稠密。
• 最优控制 $ u^0 \in U_{ad} $ 存在，并使成本泛函 $ J(u) $ 最小化，即对所有容许控制均有 $ J(u^0) \leq J(u) $。
• 控制序列 $ u^m \to u^0 $ 的收敛性蕴含对应状态轨迹 $ x^m \to x^0 $ 的强收敛性，从而确保最优解的稳定性。
• 第5节中的实例表明，具有时滞与脉冲的分数阶PDE可被重新表述为满足定理3.4与定理4.1所有假设的抽象系统。
• 性能指标 $ J(u) $ 有限且可取到最小值，证实了在 $ L^2(I,U) $ 中存在最优控制。