[论文解读] Approximate controllability for fractional diffusion equations by Dirichlet boundary control

Kenichi Fujishiro|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文通过使用狄利克雷边界控制，建立了具有卡波索时间导数（$0 < \alpha < 1$）的时间分数阶扩散方程的近似可控性。通过采用本征函数展开并证明对偶系统的唯一延拓性质，作者证明了：在 $L^2(\Omega)$ 范数下，任何初始状态均可通过作用于子边界 $\Gamma_0$ 上的边界控制，被任意精确地驱动至目标终态。其主要贡献在于，在控制和区域的正则性假设最小化的前提下，证明了近似可控性。

ABSTRACT

In this paper, we consider the approximate controllability of partial differential equations with time derivatives of non-integer order via boundary control. We first show the unique existence of the solution under smooth boundary conditions using the eigenfunction expansion. Next we also study the dual system and apply their results to prove (i) the regularity of the solution with non-smooth boundary conditions and (ii) approximate controllability.

研究动机与目标

• 建立具有卡波索时间导数（$0 < \alpha < 1$）的分数阶扩散方程在边界控制下的近似可控性。
• 通过 $L^2(\Omega)$ 中的本征函数展开，分析解的适定性和正则性。
• 研究对偶系统并证明对可控性至关重要的唯一延拓性质。
• 证明作用于子边界 $\Gamma_0 \subset \Gamma$ 上的边界控制可使系统在 $L^2(\Omega)$ 中任意接近于任意目标状态。

提出的方法

• 通过椭圆算子 $L$ 的本征值和本征函数，将分数阶扩散方程的解表示为本征函数展开形式。
• 通过转置方法定义弱解，将解框架扩展至非光滑边界数据 $g \in H^{-1/2}(\Gamma)$。
• 应用插值理论，证明解算子 $\Lambda$ 将 $L^2(\Gamma)$ 映射到 $H^{1/2}(\Omega)$，并将 $H^{3/2}(\Gamma)$ 映射到 $\mathcal{D}(L^\theta)$（其中 $\theta < 1/4$）。
• 分析对偶系统 $\mathscr{L}v = f$ 在 $\Omega$ 中、$v = 0$ 在 $\Gamma$ 上的情形，并证明其解的唯一延拓性质。
• 利用对偶系统的唯一延拓性质推导可观测性，进而通过对偶性推得近似可控性。
• 应用里斯表示定理定义弱解，并推导解算子 $\Lambda$ 的有界性估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $0 < \alpha < 1$ 的时间分数阶扩散方程，是否可通过狄利克雷边界控制使其解在 $L^2(\Omega)$ 中任意接近于任意目标状态？
• RQ2 当边界控制 $g$ 属于 $L^2(\Gamma)$ 或 $H^{-1/2}(\Gamma)$ 时，解及其解算子 $\Lambda$ 的正则性如何？
• RQ3 分数阶扩散方程的对偶系统是否满足唯一延拓性质？该性质如何与可控性相关联？
• RQ4 本征函数展开方法如何促进对分数阶偏微分方程近似可控性的分析？
• RQ5 为确保在 $L^2(\Omega)$ 范数下的近似可控性，边界控制 $g$ 所需的最小正则性是什么？

主要发现

• 当初始数据 $u_0 \in L^2(\Omega)$ 且控制 $g \in L^2(\Gamma)$ 时，$0 < \alpha < 1$ 的分数阶扩散方程的解存在且唯一，且属于 $L^2(\Omega)$。
• 将边界控制 $g$ 映射到时间 $T$ 处状态的解算子 $\Lambda$ 有界：从 $L^2(\Gamma)$ 映射到 $H^{1/2}(\Omega)$，从 $H^{3/2}(\Gamma)$ 映射到 $\mathcal{D}(L^\theta)$（其中 $\theta < 1/4$）。
• 对偶系统满足唯一延拓性质：若解在某子区域上为零，则其恒为零，这对证明可观测性至关重要。
• 近似可控性成立：对任意 $u_1 \in L^2(\Omega)$ 和 $\varepsilon > 0$，存在边界控制 $g \in L^2(\Gamma_0 \times (0,T))$，使得 $\|u(\cdot,T) - u_1\|_{L^2(\Omega)} \leq \varepsilon$。
• 证明依赖于可控性与可观测性之间的对偶性，而对偶系统唯一延拓性质确保了可观测性不等式成立。
• 该结果在最小正则性假设下成立：区域 $\Omega$ 为 $C^2$ 类，系数 $a_{ij} \in C^1(\overline{\Omega})$，且 $c \in C(\overline{\Omega})$ 满足 $c \geq 0$。