[论文解读] Approximate controllabilty from the exterior of space-time fractional diffusion equations with the fractional Laplacian

Mahamadi Warma|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 27被引用 4

一句话总结

本论文在有界区域中研究了带有分数阶拉普拉斯算子的空间-时间分数阶扩散方程的近似可控性，控制作用定位在区域外部。关键结果是：对于所有 $ T > 0 $，$ u_0 \in L^2(\Omega) $，以及 $ g \in \text{Test}((0,T) \times \mathcal{O}) $，其中 $ \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^N \setminus \Omega $，系统是近似可控的，而当 $ 0 < \alpha < 1 $ 时，零可控性是不可能实现的。

ABSTRACT

Let $\Om\subset\RR^N$ a bounded domain with a Lipschitz continuous boundary. We study the controllability of the space-time fractional diffusion equation \begin{equation*} \begin{cases} \mathbb D_t^\alpha u+(-\Delta)^su=0\;\;&\mbox{ in }\;(0,T) imes\Omega u=g &\mbox{ in }\;(0,T) imes(\RR^N\setminus\Omega) u(0,\cdot)=u_0&\mbox{ in }\;\Omega, \end{cases} \end{equation*} where $u=u(t,x)$ is the state to be controlled and $g=g(t,x)$ is the control function which is localized in a subset $\mathcal O$ of $\Omc$. Here, $0 0$ be real numbers. After giving an explicit representation of solutions, we show that the system is always approximately controllable for every $T>0$, $u_0\in L^2(\Omega)$ and $g\in \mathcal D((0,T) imes\mathcal O)$ where $\mathcal O\subset(\RR^N\setminus\bOm)$ is any open set. The results obtained are sharp in the sense that such a system is never null controllable if $0<\alpha<1$. The proof of our result is based on a new unique continuation principle for the eigenvalues problem associated with the fractional Laplace operator subject to the zero exterior boundary condition that we have established.

研究动机与目标

• 研究带有分数阶拉普拉斯算子的有界区域内空间-时间分数阶扩散方程的可控性性质，控制作用定位在外部区域。
• 确定当控制作用定位在区域补集的某个子集时，此类系统是否能从外部实现近似可控。
• 建立近似可控性成立的精确条件，并排除 $ 0 < \alpha < 1 $ 情况下的零可控性。
• 提出一种新的关于分数阶拉普拉斯算子特征值问题在零外部边界条件下成立的唯一延拓原理，该原理是主要结果的理论基础。

提出的方法

• 利用分数阶拉普拉斯算子和Caputo时间导数，推导出空间-时间分数阶扩散方程解的显式表达式。
• 应用一种新颖的分数阶拉普拉斯算子特征值问题在零外部条件下的唯一延拓原理，以建立可观测性估计。
• 通过控制问题与伴随系统的对偶性，将近似可控性问题转化为可观测性不等式。
• 证明控制函数 $ g $，其作用区域 $ \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^N \setminus \Omega $，可将系统任意逼近至任意初始状态 $ u_0 \in L^2(\Omega) $。
• 采用泛函分析技术及分数阶Sobolev空间的性质，分析解的适定性与正则性。
• 通过该参数区间内可观测性不等式不成立的性质，证明当 $ 0 < \alpha < 1 $ 时系统永远无法实现零可控性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当控制作用定位在区域外部时，带有分数阶拉普拉斯算子的空间-时间分数阶扩散方程是否可实现近似可控？
• RQ2 在该分数阶扩散设定下，近似可控性的必要与充分条件是什么？
• RQ3 为何当 $ 0 < \alpha < 1 $ 时零可控性不可能实现？这与分数阶算子的结构有何关联？
• RQ4 分数阶拉普拉斯算子在零外部条件下所具备的唯一延拓性质如何促进可控性分析？
• RQ5 控制作用支持集 $ \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^N \setminus \Omega $ 的选择在实现可控性中起到何种作用？

主要发现

• 对于所有 $ T > 0 $，$ u_0 \in L^2(\Omega) $，以及 $ g \in \mathcal{D}((0,T) \times \mathcal{O}) $，其中 $ \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^N \setminus \Omega $ 为任意开集，系统均为近似可控。
• 只要 $ \mathcal{O} $ 是开集且包含于 $ \Omega $ 的外部，近似可控性即成立，与 $ \mathcal{O} $ 的具体位置无关。
• 当 $ 0 < \alpha < 1 $ 时，零可控性不可能实现，表明分数阶时间导数导致了根本性的障碍。
• 证明依赖于在零外部条件下，分数阶拉普拉斯算子特征值问题的新唯一延拓原理。
• 该结果是精确的，因为在相同条件下无法实现更强的可控性（如零可控性）。
• 由于分数阶拉普拉斯算子的非局部性与Caputo导数的记忆效应，系统的行为与经典抛物方程有本质不同。