[论文解读] Approximate Counting for Complex-Weighted Boolean Constraint Satisfaction Problems

Tomoyuki Yamakami|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文为复权重布尔约束满足问题（CSPs）中的近似计数建立了二分法定理，表明此类问题要么可在多项式时间内求解，要么在随机化近似保持归约下与#P-完全问题一样困难。关键贡献在于引入了T-可构造性，并利用因式分解和极小化技术，对所有此类问题进行了分类，前提是单变量约束可自由使用。

ABSTRACT

Constraint satisfaction problems (or CSPs) have been extensively studied in, for instance, artificial intelligence, database theory, graph theory, and statistical physics. From a practical viewpoint, it is beneficial to approximately solve those CSPs. When one tries to approximate the total number of truth assignments that satisfy all Boolean-valued constraints for (unweighted) Boolean CSPs, there is a known trichotomy theorem by which all such counting problems are neatly classified into exactly three categories under polynomial-time (randomized) approximation-preserving reductions. In contrast, we obtain a dichotomy theorem of approximate counting for complex-weighted Boolean CSPs, provided that all complex-valued unary constraints are freely available to use. It is the expressive power of free unary constraints that enables us to prove such a stronger, complete classification theorem. This discovery makes a step forward in the quest for the approximation-complexity classification of all counting CSPs. To deal with complex weights, we employ proof techniques of factorization and arity reduction along the line of solving Holant problems. Moreover, we introduce a novel notion of T-constructibility that naturally induces approximation-preserving reducibility. Our result also gives an approximation analogue of the dichotomy theorem on the complexity of exact counting for complex-weighted Boolean CSPs.

研究动机与目标

• 在随机化近似保持归约下，对复权重布尔CSP中的近似计数复杂性进行分类。
• 解决近似计数在复权重CSP中缺乏已知三分为或二分为的问题，而这一问题在精确计数情况下已有研究。
• 通过利用自由可用的单变量约束的表达能力，实现对复杂性的完整分类。
• 将来自Holant问题的技术（包括因式分解和极小化）扩展到近似计数设置中。
• 引入新颖的T-可构造性概念，以在复权重设置中形式化近似保持归约。

提出的方法

• 采用T-可构造性作为新框架，定义复权重CSP中近似保持归约。
• 使用从Holant问题中借鉴并适配的因式分解和极小化技术，以简化和转换约束实例。
• 应用七种变换规则——置换、固定、投影、连接、展开、乘法和归一化——以模拟约束函数之间的归约。
• 证明每种变换在总满足赋值权重的近似值上保持在$2^\rho$-因子以内。
• 通过一系列此类变换，将近似$\text{csp}_{\text{csp}_{\text{csp}}}$的问题归约为基础预言机查询。
• 通过证明每步变换均保持近似比，证明$\text{csp}_{\text{csp}_{\text{csp}}}$可AP归约为$\text{csp}_{\text{csp}_{\text{csp}}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 复权重布尔CSP中近似计数复杂性的完整分类是什么？
• RQ2 在复数值约束的背景下，如何形式化近似保持归约？
• RQ3 是否可以利用自由可用的单变量约束的表达能力，实现近似计数中完整的二分法？
• RQ4 哪些来自Holant问题的技术可以被适配到CSP的近似计数设置中？
• RQ5 在何种条件下，复权重CSP的近似计数是可 tractable 的或不可 tractable 的？

主要发现

• 本文在所有复数值单变量约束均可自由使用的情况下，为复权重布尔CSP中的近似计数建立了二分法定理。
• 所有此类问题要么可在多项式时间内求解，要么在随机化近似保持归约下与#P-完全问题一样困难。
• 可 tractable 的情况由约束属于广义仿射类或乘积型类（ED）所刻画，与精确计数的二分法类似。
• 该证明依赖于一种新颖的T-可构造性概念，该概念使得在约束函数之间构建近似保持归约成为可能。
• 七种变换规则（置换、固定、投影、连接、展开、乘法、归一化）中的每一种，均将近似比保持在$2^\rho$-因子以内。
• 该结果为复权重布尔CSP的精确计数二分法定理提供了一个近似版本，完成了对CSP中近似计数整个复杂性景观分类的关键一步。