[论文解读] Approximate Distance Oracle with Constant Query Time

Shiri Chechik|arXiv (Cornell University)|May 14, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文提出了一种针对无向图（边权非负）的新型近似距离查询结构，实现 $2k-1$ 的拉伸度与恒定的 $O(1)$ 查询时间，同时保持 $O(kn^{1+1/k})$ 的空间复杂度。该方法结合了 Mendel-Naor 距离查询结构用于初始估计，并采用改进的 Thorup-Zwick 框架，通过预计算的距离阈值与枢纽结构实现恒定时间查询。

ABSTRACT

An approximate distance oracle is a succinct data structure that provides fast answers to distance queries between any two nodes. In this paper we consider approximate distance oracles for general undirected graphs with non-negative edge weights with constant query time. We present a distance oracle of size O(k n^{1+1/k}), with 2k-1 stretch and O(1) query time. This improves the O(log{k}) query time of Wulff-Nilsen's distance oracle [SODA '13], which in turn improved the O(k) query time of Thorup and Zwick's distance oracle [J. ACM '05].

研究动机与目标

• 设计一种适用于一般无向图（边权非负）的恒定查询时间距离查询结构。
• 在 Wulff-Nilsen 的 $O(\log k)$ 查询时间结构基础上进一步改进，将其降低至 $O(1)$。
• 在实现 $2k-1$ 拉伸度的同时，维持接近最优的空间复杂度 $O(kn^{1+1/k})$。
• 在大规模网络中实现实际部署，其中亚线性查询时间至关重要。

提出的方法

• 利用 Mendel-Naor 距离查询结构，以 $O(1)$ 时间获得所有点对的 $O(ck)$-拉伸估计。
• 通过枢纽集与簇集构建改进的 Thorup-Zwick 查询结构，以支持 $2k-1$-拉伸查询。
• 通过合并 Mendel-Naor 距离集 $\cal D_{MN}$ 与 Thorup-Zwick 距离集 $\cal D_{TZ}$，预处理距离阈值 $\tilde{\cal D}(d)$。
• 对每个节点 $u$，计算 $\delta_j(u)$、$\Delta_j(u)$，并利用它们预计算索引 $x_1(i,u)$、$x_2(i,u)$、$x_3(i,u)$，以实现恒定时间查询路由。
• 使用哈希函数 $h_u$ 与列表 $L_u$，在查找时高效地将查询距离映射到预计算的值。
• 通过混合查询算法，将 Mendel-Naor 的 $O(1)$ 时间查询结构与 Thorup-Zwick 的 $2k-1$-拉伸结构相结合，以恒定时间选择最优估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在维持 $2k-1$ 拉伸度与 $O(kn^{1+1/k})$ 空间复杂度的前提下，实现 $O(1)$ 查询时间的距离查询结构？
• RQ2 是否可能将 Wulff-Nilsen 查询结构的 $O(\log k)$ 查询时间降低为一个通用常数？
• RQ3 如何将低拉伸的初始估计与 Thorup-Zwick 风格的结构结合，以实现恒定时间查询？
• RQ4 实现 $2k-1$ 拉伸度与恒定查询时间的构造时间开销是多少？

主要发现

• 所提出的距离查询结构实现了 $O(1)$ 查询时间、$2k-1$ 拉伸度与 $O(kn^{1+1/k})$ 空间复杂度，优于 Wulff-Nilsen 的 $O\left(\log k\right)$ 查询时间。
• 构造时间为 $O(kmn^{1/k} + kn^{1+1/k}\log n + mn^{1/(ck)}\log^3 n)$，对稀疏图而言效率较高。
• 该方法结合了 Mendel-Naor 查询结构以实现快速初始估计，以及经过优化的 Thorup-Zwick 结构以确保拉伸保证。
• 每个节点的预处理耗时 $O(k^2)$，总预处理时间为 $O(nk\log n)$，对大规模图而言效率较高。
• 通过预计算所有节点与查询对的关键距离阈值与路由索引，该数据结构支持 $O(1)$ 时间查询。
• 该数据结构的大小为 $O(kn^{1+1/k})$，在图周长猜想下与最优权衡仅相差常数因子。