[论文解读] Approximate Equilibria in Games with Few Players

Patrick Briest, Paul W. Goldberg+1 more|ArXiv.org|Apr 29, 2008

Game Theory and Applications参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文研究了支持规模恒定的k人非合作型博弈中的近似纳什均衡。提出了一种简单算法，可在每个玩家支持规模至多为2的情况下计算出(1−1/k)-纳什均衡，并证明该界是紧致的；通过整合两人博弈算法进一步改进近似效果，并利用集中不等式表明当k相对于n较小时，O(log n)的支持规模足以实现亚指数时间算法。

ABSTRACT

We study the problem of computing approximate Nash equilibria (epsilon-Nash equilibria) in normal form games, where the number of players is a small constant. We consider the approach of looking for solutions with constant support size. It is known from recent work that in the 2-player case, a 1/2-Nash equilibrium can be easily found, but in general one cannot achieve a smaller value of epsilon than 1/2. In this paper we extend those results to the k-player case, and find that epsilon = 1-1/k is feasible, but cannot be improved upon. We show how stronger results for the 2-player case may be used in order to slightly improve upon the epsilon = 1-1/k obtained in the k-player case.

研究动机与目标

• 分析在少量玩家且支持规模恒定的策略下，近似纳什均衡的极限。
• 将已知的两人博弈ε-纳什均衡结果推广至k人博弈。
• 确定使用恒定支持混合策略所能达到的最佳ε-近似保证。
• 为k人博弈中的近似均衡开发高效算法。
• 当玩家数k为o(√n)时，建立近似均衡的亚指数时间算法。

提出的方法

• 将Daskalakis等人提出的两人博弈算法扩展至k人博弈，每个玩家使用至多两种策略作为支持。
• 通过将(k−1)人博弈的近似算法作为子程序，构建k人博弈的递归算法。
• 基于有界差异不等式，使用概率论证来限制期望收益的偏离。
• 应用集中不等式，表明对O(log n)个样本的经验分布可产生ε-纳什均衡。
• 推导出近似保证δk关于δk−1的递推关系，推广两人博弈情形。
• 使用联合界和尾部概率界，确保所有玩家的遗憾值以高概率落在ε以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 在k人博弈中，恒定支持策略所能达到的最佳近似保证ε是多少？
• RQ2 两人博弈的算法方法能否推广至k人博弈，以实现优于1/Nash均衡的近似？
• RQ3 在k人博弈中，支持规模最小可小到何种程度，仍能保证ε-纳什均衡？
• RQ4 当k相对于n较小时，能否构造出近似均衡的亚指数时间算法？
• RQ5 在k人博弈中，实现ε-纳什均衡所需的最小支持规模是多少？

主要发现

• 对于任意k人博弈，可在多项式时间内计算出每个玩家支持规模至多为2的(1−1/k)-纳什均衡。
• 该(1−1/k)近似界是紧致的：任何恒定支持策略均无法获得更优的近似保证。
• 通过递归应用两人博弈近似算法，本文在k人博弈中实现了优于(1−1/k)的近似。
• 有界差异不等式提供了一种简化证明，表明O(log n)的支持规模足以实现k人博弈中的ε-纳什均衡。
• 当k = o(√n)时，对O(log n)个策略的支持枚举可产生近似均衡的亚指数时间算法。
• 当k = o(n^{1/3})时，即使考虑纯策略数n，该算法仍可在亚指数时间内运行。