[论文解读] Approximate functional equations for the Hurwitz and Lerch zeta-functions

Takashi Miyagawa|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文通过简化版的鞍点法，为Hurwitz和Lerch zeta函数建立了一类新型近似函数方程，相较于以往结果，提供了更灵活的参数选择。该文推导了Lerch zeta函数在临界线上的均方值主项，与早期工作相比提供了更简洁的证明，误差项在 $ 0 < \alpha < 1 $ 时为 $ O(T(/\log T)^{1/2}) $，在 $ \alpha = 1 $ 时为 $ O(T(/\log T)^{3/4}) $。

ABSTRACT

As one of the asymptotic formulas for the zeta-function, Hardy and Littlewood gave asymptotic formulas called the approximate functional equation. In 2003, R. Garunkštis, A. Laurinčikas, and J. Steuding (in [1]) proved the Riemann-Siegel type of the approximate functional equation for the Lerch zeta-function $ ζ_L (s, α, λ) = \sum_{n=0}^\infty e^{2πi n λ}(n + α)^{-s} $. In this paper, we prove another type of approximate functional equations for the Hurwitz and Lerch zeta-functions. R. Garunkštis, A. Laurinčikas, and J. Steuding (in \cite{GLS2}) obtained the results on the mean square values of $ ζ_L (σ+ it, α, λ) $ with respect to $ t $. We obtain the main term of the mean square values of $ ζ_L (1/2 + it, α, λ) $ using a simpler method than their method in [2].

研究动机与目标

• 为Hurwitz和Lerch zeta函数开发一种新型近似函数方程，使得在约束 $ 2\pi xy = |t| $ 下可独立选择求和参数，优于以往结果。
• 提供一种更简单、更直接的证明方法，用于 $ \zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda) $ 关于 $ t $ 的均方值，避免使用先前研究中复杂的工具。
• 推导Lerch zeta函数在临界带内的显式渐近展开式，该展开式推广了经典的Riemann-Siegel型公式。
• 明确误差项对参数 $ \alpha $ 和 $ \lambda $ 的依赖关系，特别是区分 $ \alpha < 1 $ 和 $ \alpha = 1 $ 的情形。
• 证明利用新近似函数方程，可仅以最小的解析复杂度提取均方公式中的主项。

提出的方法

• 通过将鞍点法应用于zeta函数的积分表示，推导出 $ \zeta_L(s, \alpha, \lambda) $ 和 $ \zeta_H(s, \alpha) $ 的新近似函数方程。
• 应用平稳相位法和渐近展开技术，对临界带 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ 内的Hurwitz和Lerch zeta函数进行近似，其中参数 $ x $ 和 $ y $ 满足 $ 2\pi xy = |t| $。
• 利用Gamma函数的函数方程和指数相位偏移，将对偶和表示为 $ \Gamma(1-s) $ 的形式，从而在两个和之间建立对称性。
• 应用Stirling公式以控制渐近展开中gamma因子的误差项。
• 应用柯西-施瓦茨不等式并估计指数和，以控制临界线上zeta函数的 $ L^2 $-范数。
• 采用参数选择 $ x = t / (2\pi \sqrt{\log t}) $，$ y = \sqrt{\log t} $，以平衡均方积分中主项与误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Hurwitz和Lerch zeta函数推导出一种新型近似函数方程，使得在约束 $ 2\pi xy = |t| $ 下可独立选择求和边界 $ x $ 和 $ y $，而无需像以往结果那样受限？
• RQ2 是否可能使用比Garunkštis, Laurinčićkas, 和 Steuding (2003) 所用方法更简单的方法，推导出 $ \zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda) $ 的均方值主项？
• RQ3 在 $ \alpha = 1 $ 的情况下，$ \zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda) $ 的均方公式中的误差项如何依赖于参数 $ \alpha $ 和 $ \lambda $？
• RQ4 Lerch zeta函数在临界带内的渐近展开是否可以表示为一种形式，能清晰分离主项与误差项，并给出显式误差界？
• RQ5 当 $ T \to \infty $ 时，积分 $ \int_1^T |\zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda)|^2 dt $ 的精确渐近行为是什么？其随 $ \alpha $ 的变化如何？

主要发现

• 本文为Lerch zeta函数 $ \zeta_L(s, \alpha, \lambda) $ 和Hurwitz zeta函数 $ \zeta_H(s, \alpha) $ 建立了新的近似函数方程，适用于 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $，其形式为 $ \zeta_L(s, \alpha, \lambda) = \sum_{n \leq x} \frac{e^{2\pi i n \lambda}}{(n+\alpha)^s} + \frac{\Gamma(1-s)}{(2\pi)^{1-s}} \left\{ e^{\{(1-s)/2 - 2\alpha\lambda\} \pi i} \sum_{n \leq y} \frac{e^{2\pi i n(1-\alpha)}}{(n+\lambda)^{1-s}} + e^{\{-(1-s)/2 + 2\alpha(1-\lambda)\} \pi i} \sum_{n \leq y} \frac{e^{2\pi i n \alpha}}{(n+1-\lambda)^{1-s}} \right\} + O(x^{-\sigma}) + O(|t|^{1/2 - \sigma} y^{\sigma - 1}) $，其中 $ 2\pi x y = |t| $。
• 当 $ \lambda = 1 $ 时，近似函数方程简化为 $ \zeta_H(s, \alpha) = \sum_{n \leq x} \frac{1}{(n+\alpha)^s} + \frac{\Gamma(1-s)}{(2\pi)^{1-s}} \left\{ e^{\pi i (1-s)/2} \sum_{n \leq y} \frac{e^{2\pi i n(1-\alpha)}}{n^{1-s}} + e^{-\pi i (1-s)/2} \sum_{n \leq y} \frac{e^{2\pi i n \alpha}}{n^{1-s}} \right\} + O(x^{-\sigma}) + O(|t|^{1-\sigma} y^{\sigma - 1}) $。
• Lerch zeta函数 $ \zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda) $ 的均方值满足 $ \int_1^T |\zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda)|^2 dt = T \log \frac{T}{2\pi} + O(T (\log T)^{1/2}) $（当 $ 0 < \alpha < 1 $ 时），以及 $ O(T (\log T)^{3/4}) $（当 $ \alpha = 1 $ 时），当 $ T \to \infty $。
• 均方公式中的主项 $ T \log \frac{T}{2\pi} $ 是通过比Garunkštis, Laurinčićkas, 和 Steuding (2003) 更简单的方法推导得出，该方法依赖于新近似函数方程以及对指数和的精细估计。
• 对于 $ \alpha = 1 $，误差项比以往结果更大，但推导在概念和技术上更为直接，避免了对高级谱论或复分析工具的需求。
• 本文表明，当 $ \alpha < 1 $ 时，zeta函数可被长度约为 $ x \sim t / (2\pi \sqrt{\log t}) $ 的部分和良好逼近，其余项有界于 $ O(1) $；而当 $ \alpha = 1 $ 时，误差为 $ O((\log t)^{1/4}) $，在 $ [1, T] $ 上可积。