[论文解读] Approximate Generalized Matching: $f$-Factors and $f$-Edge Covers

Dawei Huang, Seth Pettie|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文提出了一种近乎线性时间的近似方案，用于非二分图中的最大权 $f$-匹配和最小权 $f$-边覆盖，采用保持近似性的约化方法，并对埃德monds的花朵算法中的互补松驰条件进行了新颖的松弛。关键结果是，对于 $(1-\epsilon)$-近似 $f$-匹配和 $(1+\epsilon)$-近似 $f$-边覆盖，提出了时间复杂度为 $O_{\epsilon}(m\alpha(m,n))$ 的算法。

ABSTRACT

In this paper we present linear time approximation schemes for several generalized matching problems on nonbipartite graphs. Our results include $O_ε(m)$-time algorithms for $(1-ε)$-maximum weight $f$-factor and $(1+ε)$-approximate minimum weight $f$-edge cover. As a byproduct, we also obtain direct algorithms for the exact cardinality versions of these problems running in $O(m\sqrt{f(V)})$ time. The technical contributions of this work include an efficient method for maintaining {\em relaxed complementary slackness} in generalized matching problems and approximation-preserving reductions between the $f$-factor and $f$-edge cover problems.

研究动机与目标

• 解决非二分图上广义匹配问题缺乏高效且保持近似性的约化方法的问题。
• 设计直接求解 $f$-匹配和 $f$-边覆盖的算法，避免输入规模膨胀并保持对偶结构。
• 为加权 $f$-匹配和 $f$-边覆盖设计近乎线性时间的近似方案，提供 $(1\pm\epsilon)$-近似保证。
• 通过基于近似的舍入方法，实现在 $O(m\alpha(m,n)\sqrt{f(V)})$ 时间内精确计算基数 $f$-匹配和 $f$-边覆盖。
• 保持线性规划公式中的对偶性和结构，自然支持加权和近似变体。

提出的方法

• 引入一种松弛的互补松驰条件，以在广义匹配的增广路径搜索过程中保持对偶可行性。
• 利用其对偶性和互补结构，在 $f$-匹配和 $f$-边覆盖问题之间建立保持近似性的约化。
• 将埃德monds的花朵算法适配到松弛的对偶条件下，实现无需严格对偶可行性的高效增广路径搜索。
• 动态维护搜索树和花朵结构，通过边耗尽和祖先-后代关系避免冗余探索。
• 采用两阶段方法：首先使用松弛对偶计算 $\epsilon$-近似解，然后通过标准增广路径搜索完成解。
• 利用 $\epsilon$-近似将盈余/赤字限制在 $O(\sqrt{f(V)})$，从而实现在近乎线性时间内完成精确计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在不扩大输入规模的前提下，以近乎线性时间实现 $(1-\epsilon)$-近似最大权 $f$-匹配？
• RQ2 我们能否设计一种从 $f$-边覆盖到 $f$-匹配的保持近似性的约化，同时保持对偶结构并避免输入规模膨胀？
• RQ3 如何在埃德monds算法中松弛互补松驰条件，以支持广义匹配中的高效近似？
• RQ4 使用基于近似的舍入方法，计算精确 $f$-匹配和 $f$-边覆盖的复杂度是多少？
• RQ5 我们能否通过统一的算法框架，实现 $(1\pm\epsilon)$-近似 $f$-匹配和 $f$-边覆盖的 $O(m\alpha(m,n))$-时间复杂度？

主要发现

• 本文提出了一种时间复杂度为 $O_{\epsilon}(m\alpha(m,n))$ 的算法，用于 $(1-\epsilon)$-近似最大权 $f$-匹配。
• 同时，也提供了一种时间复杂度为 $O_{\epsilon}(m\alpha(m,n))$ 的算法，用于 $(1+\epsilon)$-近似最小权 $f$-边覆盖。
• 通过该近似框架，可在 $O(m\alpha(m,n)\sqrt{f(V)})$ 时间内精确计算 $f$-匹配或 $f$-边覆盖。
• 在 $f$-匹配与 $f$-边覆盖之间保持近似性的约化方法，既保持了对偶结构，又避免了输入规模膨胀。
• 松弛的互补松驰框架使得广义匹配问题的近乎线性时间高效近似成为可能。
• 通过设定 $\epsilon = 1/\sqrt{f(V)}$，算法可得到盈余或赤字为 $O(\sqrt{f(V)})$ 的解，从而在近乎线性时间内完成精确计算。