[论文解读] Approximate Nearest Neighbor for Polygonal Curves Under Fréchet Distance

Siu-Wing Cheng, Haoqiang Huang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 1

一句话总结

本文提出了基于Fréchet距离的多边形曲线近似最近邻（ANN）数据结构，在维度或曲线复杂度下不产生指数级空间增长的前提下，实现了次线性查询时间。提出了一种新颖的分层网格与区间树索引方案，结合近似线段查询，实现了(1+ε)-ANN与(3+ε)-ANN，其查询时间分别为Õ(k(mn)^{0.5+ε}/ε^O(d) + k(d/ε)^O(dk))与Õ(k(mn)^{0.5+ε}/ε^O(d))，适用于d维空间。

ABSTRACT

We propose $κ$-approximate nearest neighbor (ANN) data structures for $n$ polygonal curves under the Fréchet distance in $\mathbb{R}^d$, where $κ\in \{1+\varepsilon,3+\varepsilon\}$ and $d \geq 2$. We assume that every input curve has at most $m$ vertices, every query curve has at most $k$ vertices, $k \ll m$, and $k$ is given for preprocessing. The query times are $ ilde{O}(k(mn)^{0.5+\varepsilon}/\varepsilon^d+ k(d/\varepsilon)^{O(dk)})$ for $(1+\varepsilon)$-ANN and $ ilde{O}(k(mn)^{0.5+\varepsilon}/\varepsilon^d)$ for $(3+\varepsilon)$-ANN. The space and expected preprocessing time are $ ilde{O}(k(mnd^d/\varepsilon^d)^{O(k+1/\varepsilon^2)})$ in both cases. In two and three dimensions, we improve the query times to $O(1/\varepsilon)^{O(k)} \cdot ilde{O}(k)$ for $(1+\varepsilon)$-ANN and $ ilde{O}(k)$ for $(3+\varepsilon)$-ANN. The space and expected preprocessing time improve to $O(mn/\varepsilon)^{O(k)} \cdot ilde{O}(k)$ in both cases. For ease of presentation, we treat factors in our bounds that depend purely on $d$ as~$O(1)$. The hidden polylog factors in the big-$ ilde{O}$ notation have powers dependent on $d$.

研究动机与目标

• 设计多边形曲线在Fréchet距离下的高效近似最近邻（ANN）数据结构。
• 在维度d或曲线复杂度m和n下，实现不依赖指数级空间复杂度的次线性查询时间。
• 支持查询曲线顶点数k远小于输入曲线顶点数m和n的非对称情形。
• 为(1+ε)-ANN与(3+ε)-ANN提供理论保证，优化查询与预处理时间界限。

提出的方法

• 采用空间的分层网格分解，将空间划分为不同分辨率的单元格，以索引多边形曲线。
• 利用区间树与关于标准线段的字典，支持对曲线线段的快速(11εδ)-线段查询。
• 通过几何近似与基于网格的邻近性检测，将(κ, δ)-ANN问题约化为(11εδ)-线段查询。
• 提出一种新型数据结构，结合Danp、Danl、Tℓ与Tξ，以Õ((mn)^{0.5+ε}/ε^d)时间回答线段查询。
• 结合概率与确定性技术，管理失败概率并确保近似下的正确性。
• 采用递归查询策略，处理查询线段位于相关网格单元之前、之中或之后的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在不产生维度d或曲线复杂度m和n的指数级空间增长前提下，实现多边形曲线在Fréchet距离下的(1+ε)-ANN的次线性查询时间？
• RQ2 支持(3+ε)-ANN且具备次线性查询时间的最小空间与预处理时间是多少？
• RQ3 如何高效回答(11εδ)-线段查询，以实现向(κ, δ)-ANN问题的约化？
• RQ4 能否在保持近似保证的前提下，降低查询时间中对d和k的指数依赖？
• RQ5 在非对称Fréchet ANN中，空间、预处理时间与查询时间之间的最优权衡是什么？

主要发现

• 对于(1+ε)-ANN，查询时间为Õ(k(mn)^{0.5+ε}/ε^O(d) + k(d/ε)^O(dk))，空间与预处理时间均为Õ(k(mndd/ε^d)^O(k+1/ε^2))。
• 对于(3+ε)-ANN，查询时间为Õ(k(mn)^{0.5+ε}/ε^O(d))，空间与预处理时间与上述相同。
• 在2D与3D中，查询时间分别优化为Õ(k/ε^O(k))（(1+ε)-ANN）与Õ(k)（(3+ε)-ANN）。
• 在2D/3D中，空间与预处理时间降低至O(mn/ε)^O(k) · Õ(k)，避免了对d的指数依赖。
• 当使用概率性(κ, δ)-ANN解决方案时，正确性可保证在O(f log n)的失败概率下。
• 该框架支持k ≪ m的非对称情形，适用于用户草图查询。