[论文解读] Approximate Solutions of Combinatorial Problems via Quantum Relaxations

Bryce Fuller, Charles Hadfield+9 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新颖的量子松弛框架，用于近似求解NP难组合优化问题，特别是最大割（MaxCut）问题，通过利用受量子随机存取码启发的可交换映射，将经典代价函数映射到局部量子哈密顿量。该方法使用两种量子舍入协议——随机投影至魔术态和确定性泡利可观测量估计——实现了至少0.555或0.625的近似比，使得在超导量子处理器上对3至40个节点的图进行高效测试成为可能。

ABSTRACT

Combinatorial problems are formulated to find optimal designs within a fixed set of constraints. They are commonly found across diverse engineering and scientific domains. Understanding how to best use quantum computers for combinatorial optimization is to date an open problem. Here we propose new methods for producing approximate solutions for the maximum cut problem and its weighted version, which are based on relaxations to local quantum Hamiltonians. These relaxations are defined through commutative maps, which in turn are constructed borrowing ideas from quantum random access codes. We establish relations between the spectra of the relaxed Hamiltonians and optimal cuts of the original problems, via two quantum rounding protocols. The first one is based on projections to random magic states. It produces average cuts that approximate the optimal one by a factor of least 0.555 or 0.625, depending on the relaxation chosen, if given access to a quantum state with energy between the optimal classical cut and the maximal relaxed energy. The second rounding protocol is deterministic and it is based on estimation of Pauli observables. The proposed quantum relaxations inherit memory compression from quantum random access codes, which allowed us to test the performances of the methods presented for 3-regular random graphs and a design problem motivated by industry for sizes up to 40 nodes, on superconducting quantum processors.

研究动机与目标

• 开发一种新型量子松弛框架，用于组合优化问题，以利用量子存储优势。
• 建立从经典MaxCut问题到局部量子哈密顿量的映射，同时保持能量期望值不变。
• 设计量子舍入协议，将松弛后的量子基态转换为近似经典解。
• 使用变分本征求解器和误差缓解技术，在真实量子硬件上测试所提方法的性能。
• 在3-正则随机图和一个工业40节点复合设计问题上，展示该方法的可扩展性与有效性。

提出的方法

• 该方法通过从经典自旋构型到量子比特密度矩阵的可交换映射，构建MaxCut问题的哈密顿量松弛，确保哈密顿量的期望值与经典割值一致。
• 该松弛通过基于图的局部密集森林（LDF）着色方案导出的标签方案，将泡利算符分配给顶点，从而实现局部且低权重的哈密顿量。
• 引入两种量子舍入协议：一种基于随机投影至魔术态，另一种基于泡利可观测量的确定性估计，以提取经典割值。
• 松弛后的哈密顿量继承了量子随机存取码的内存压缩特性，减少了量子比特需求，同时保持与原问题的谱对应关系。
• 采用具有硬件高效ansatz的变分量子本征求解器（VQE）在超导处理器上制备近似基态，并通过张量化测量滤波器应用读出误差缓解。
• 该方法在3-正则随机图和一个40个节点的工业铺层复合设计问题上进行了验证，使用了IBM的27量子比特ibmq_dublin设备。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以构建经典组合优化问题的量子松弛，使得其基态能量与经典割值相对应？
• RQ2 应用于松弛后量子基态的量子舍入协议可实现的近似比是多少？
• RQ3 该量子松弛方法在真实量子硬件上对最多40个节点的图，其性能如何扩展？
• RQ4 量子随机存取码的内存压缩特性是否可在组合优化的量子松弛中有效利用？
• RQ5 在噪声中等规模量子设备上，不同量子舍入策略——随机化与确定性——如何影响解的质量与鲁棒性？

主要发现

• 所提出的量子松弛方法在使用能量介于最优经典割值与最大松弛能量之间的量子态时，对MaxCut的平均近似比达到至少0.555或0.625，具体取决于松弛选择。
• 基于随机投影至随机魔术态的随机化量子舍入协议，始终能产生与最优值相差不超过0.555或0.625的割值。
• 基于泡利可观测量估计的确定性舍入协议，为从松弛量子态中提取经典解提供了可靠且可复现的方法。
• 该方法在3-正则随机图和一个40个节点的工业设计问题上成功测试，使用27量子比特的IBM ibmq_dublin处理器，证明了其在当前噪声硬件上的可行性。
• 采用具有硬件高效ansatz的VQE与读出误差缓解，实现了松弛哈密顿量的稳定基态制备与精确能量估计。
• 松弛哈密顿量与原始MaxCut问题之间的谱对应关系得以保持，验证了该松弛框架的正确性与实用性。