[论文解读] Approximate solutions to large nonsymmetric differential Riccati problems.

M. Hached, Khalide Jbilou|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2018

Matrix Theory and Algorithms参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于Krylov的模型降阶方法，用于求解大规模非对称微分Riccati方程的低秩结构问题。通过使用扩展块Arnoldi方法将问题投影到小规模Krylov子空间，结合指数积分器或BDF/ROSENBROCK格式，实现了高效求解，显著降低了计算成本，同时在控制理论和输运方程等应用中保持了高精度。

ABSTRACT

In the present paper, we consider large scale nonsymmetric differential matrix Riccati equations with low rank right hand sides. These matrix equations appear in many applications such as control theory, transport theory, applied probability and others. We show how to apply Krylov-type methods such as the extended block Arnoldi algorithm to get low rank approximate solutions. The initial problem is projected onto small subspaces to get low dimensional nonsymmetric differential equations that are solved using the exponential approximation or via other integration schemes such as Backward Differentiation Formula (BDF) or Rosenbrok method. We also show how these technique could be easily used to solve some problems from the well known transport equation. Some numerical experiments are given to illustrate the application of the proposed methods to large-scale problems.

研究动机与目标

• 为解决控制理论、输运和概率等领域中出现的大规模非对称微分矩阵Riccati方程带来的计算挑战。
• 开发一种数值高效的算法，以保持这些方程中右侧项的低秩结构。
• 通过Krylov技术将问题投影到小规模、低维子空间，实现大规模问题的可扩展求解。
• 在基准问题上验证该方法的有效性，包括来自输运方程的问题。
• 比较指数积分器、BDF和Rosenbrock格式在降阶设置下的性能与精度。

提出的方法

• 应用扩展块Arnoldi算法，构建一个能捕捉大规模Riccati问题主导动态的小规模Krylov子空间。
• 将原始的大规模非对称微分Riccati方程投影到该小规模Krylov子空间，得到一个降阶的微分矩阵方程。
• 使用指数积分器、后向微分公式（BDF）或Rosenbrock方法求解降阶问题，适用于刚性系统。
• 利用右侧项的低秩结构，在求解过程中保持计算效率。
• 在积分后，从原始空间中的低秩近似重构完整解。
• 通过输运方程导出的问题验证该方法的实际适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于Krylov的模型降阶方法能否有效处理具有低秩结构的大规模非对称微分Riccati方程？
• RQ2 当应用于降阶问题时，指数积分器、BDF和Rosenbrock格式在精度和效率方面如何比较？
• RQ3 低秩投影在多大程度上保留了原始大规模系统的本质动态？
• RQ4 所提出的方法能否高效应用于来自输运方程的问题？
• RQ5 与全阶求解器相比，该方法在CPU时间和内存使用方面带来了多大的计算增益？

主要发现

• 基于Krylov的投影方法在保持解精度的同时，成功降低了大规模非对称微分Riccati方程的维度。
• 指数积分器、BDF和Rosenbrock格式在降阶问题上均能提供稳定且精确的解，其中指数积分器在处理非刚性分量时表现尤为出色。
• 通过利用右侧项的低秩结构及系统内在结构，该方法实现了显著的计算节省。
• 数值实验表明，该方法在大规模问题（包括来自输运方程的问题）上具有鲁棒性和可扩展性。
• 即使在长时间积分下，降阶模型仍保持高精度，表现出良好的稳定性和收敛性。
• 该方法使得原本因内存和时间限制而无法用标准直接求解器处理的问题得以求解。