[论文解读] Approximate Spielman-Teng theorems for random matrices with heavy-tailed entries: a combinatorial view

Vishesh Jain|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文为重尾分布的逆Littlewood-Offord问题建立了改进的组合界，并将其应用于推导出具有独立同分布、均值为零、方差为一的中心化条目的随机矩阵的最小奇异值的简化、非渐近界。证明了对于某个 $ c > 0 $，有 $ \Pr(s_n(M_n) \leq \eta) \lesssim n^2\eta + \exp(-n^c) $，从而以更简洁的证明方式获得了近似最优结果。

ABSTRACT

This paper makes two contributions to the areas of anti-concentration and non-asymptotic random matrix theory. First, we study the counting problem in inverse Littlewood-Offord theory for general random variables: for random variables $\xi_1,\dots,\xi_n$ which are i.i.d. copies of a random variable $\xi$ (satisfying some mild hypotheses), how many integer vectors $\boldsymbol{a}:=(a_1,\dots,a_n)$ in a prescribed box have large $ ho_{1,\xi}(\boldsymbol{a}):=\sup_{x\in \mathbb{R}}\Pr(\sum_{i=1}^{n}\xi_i a_i \in B(x,1))$? Building on recent work of Ferber, Jain, Luh, and Samotij (who treated the case when $\xi$ is a Rademacher random variable), we provide significantly better bounds for this problem than those obtained using the inverse Littlewood-Offord theorems of Tao and Vu, and Nguyen and Vu. Next, we study the non-asymptotic behavior of the least singular value $s_n(M_n)$ of a random $n imes n$ square matrix $M_n$ with i.i.d. entries, which are only assumed to be centered with variance $1$. As an application of our counting theorem, and utilizing and developing a recent work by the author, we show that for all $\eta \geq 0$, $\Pr(s_n(M_n) \leq \eta) \lesssim n^{2}\eta + \exp(-n^{c})$, where $c>0$ is an absolute constant, thereby providing a considerably simpler proof of an approximate version of an essentially optimal result due to Rebrova and Tikhomirov.

研究动机与目标

• 将逆Littlewood-Offord理论从Rademacher变量推广至具有重尾的一般独立同分布随机变量。
• 改进现有关于在线性形式下具有高集中概率的整数向量数量的界。
• 分析具有独立同分布、均值为零、方差为一的条目的随机矩阵的最小奇异值 $ s_n(M_n) $ 的非渐近行为。
• 通过一个新计数定理，为最小奇异值界的一个近似最优版本提供更简单的证明。

提出的方法

• 构建一个组合框架，用于计数在盒子中具有大集中概率 $ \rho_{1,\xi}(\boldsymbol{a}) $ 的整数向量 $ \boldsymbol{a} $。
• 改编并强化了Ferber等人关于非Rademacher分布的逆Littlewood-Offord理论的近期结果。
• 将新计数定理应用于控制最小奇异值 $ s_n(M_n) $ 的尾部行为。
• 利用并扩展了作者近期提出的方法，推导出 $ \Pr(s_n(M_n) \leq \eta) $ 的非渐近界。
• 采用反集中度技术与指数矩界来控制小奇异值的概率。
• 结合组合计数与概率估计，实现了阶为 $ n^2\eta + \exp(-n^c) $ 的精确界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将逆Littlewood-Offord理论扩展至具有重尾的一般独立同分布随机变量？
• RQ2 对于非高斯条目，具有高集中概率的整数向量数量的更紧组合界是什么？
• RQ3 能否为具有重尾条目的随机矩阵的非渐近最小奇异值界给出更简化的证明？
• RQ4 在最小矩假设下，$ \Pr(s_n(M_n) \leq \eta) $ 对 $ \eta $ 和 $ n $ 的最优依赖关系是什么？

主要发现

• 与先前的逆Littlewood-Offord定理相比，本文在具有大集中概率的整数向量数量上提供了显著改进的界。
• 建立了非渐近界 $ \Pr(s_n(M_n) \leq \eta) \lesssim n^2\eta + \exp(-n^c) $，其中 $ \eta \geq 0 $，$ c > 0 $ 为绝对常数。
• 该界与Rebrova和Tikhomirov的最优结果在定性行为上一致，但证明更为简洁。
• 该方法避免使用高维概率中的深层工具，转而依赖组合计数与反集中度。
• 该结果在最小假设下成立：独立同分布条目，均值为零，方差为一，无需更高阶矩。
• 该框架具有足够的通用性，可适用于满足温和假设的任意独立同分布随机变量，而不仅限于次高斯或Rademacher变量。