[论文解读] Approximate tensor decompositions: disappearance of many separations

Gemma De las Cuevas, Andreas Klingler+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2020

Tensor decomposition and applications参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文表明，许多经典的张量秩分离（例如，秩与正半定秩、非负秩之间的分离）在近似分解下会消失。通过引入适用于Schatten p-范数和ℓp-范数的Carathéodory定理的近似版本，作者证明：对于任意近似误差ε > 0和p > 1，这些秩变为多项式有界，这意味着此类分离对小扰动不具有鲁棒性。

ABSTRACT

It is well-known that tensor decompositions show separations, that is, that constraints on local terms (such as positivity) may entail an arbitrarily high cost in their representation. Here we show that many of these separations disappear in the approximate case. Specifically, for every approximation error $\varepsilon$ and norm, we define the approximate rank as the minimum rank of an element in the $\varepsilon$-ball with respect to that norm. For positive semidefinite matrices, we show that the separations between rank, purification rank, and separable rank disappear for a large class of Schatten $p$-norms. For nonnegative tensors, we show that the separations between rank, positive semidefinite rank, and nonnegative rank disappear for all $\ell_p$-norms with $p>1$. For the trace norm ($p = 1$), we obtain upper bounds that depend on the ambient dimension. We also provide a deterministic algorithm to obtain the approximate decomposition attaining our bounds. Our main tool is an approximate version of Carath\'eodory's Theorem. Our results imply that many separations are not robust under small perturbations of the tensor, with implications in quantum many-body systems and communication complexity.

研究动机与目标

• 研究经典张量秩分离（例如，秩与非负秩之间）在小扰动下是否仍然存在。
• 确定近似张量分解能否消除精确分解中观察到的指数级或超多项式差距。
• 在各种范数下建立近似秩的上界，特别是针对p > 1的Schatten p-范数和ℓp-范数。
• 开发一种确定性算法，用于计算达到所推导边界的近似分解。
• 分析在噪声或近似下，量子信息和多体物理中秩分离的鲁棒性。

提出的方法

• 为Schatten p-范数和ℓp-范数量身定制，提出Carathéodory定理的近似版本，实现凸包的有界秩近似。
• 将近似(Ω, G)-秩定义为在给定范数下，目标张量ε-球内元素的最小秩。
• 利用光滑函数和基于范数的优化，以环境维数和ε为参数，界定近似秩。
• 利用群作用和加权单纯复形（wsc）来编码张量分解中的对称性，特别是对不变张量。
• 基于凸优化和范数约束，构建一种确定性算法，用于计算达到所推导边界的近似分解。
• 单独分析迹范数（p = 1）情形，提供与环境维数多项式相关的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小近似误差下，张量秩之间的分离（例如，秩 ≪ psd-秩 ≪ nn-秩）是否仍然存在？
• RQ2 对于p > 1的Schatten p-范数，近似秩能否在近似误差ε和环境维数方面实现多项式有界？
• RQ3 在量子系统和通信复杂性中，秩分离对扰动的鲁棒性如何？
• RQ4 迹范数（p = 1）情形是否能以类似方式有界，且该界如何随维数变化？
• RQ5 能否利用张量积结构或局部距离度量，推导出比全局范数近似更紧的界？

主要发现

• 对于正半定矩阵，基于任意p > 1的Schatten p-范数，秩、纯化秩与可分秩之间的分离在近似下消失。
• 对于非负张量，基于任意p > 1的ℓp-范数，秩、正半定秩与非负秩之间的分离在近似下消失。
• 对于迹范数（p = 1），推导出近似秩的上界，并表明其与环境维数呈多项式依赖关系。
• 为Schatten p-范数和ℓp-范数建立了近似Carathéodory定理，成为界定近似秩的核心理论工具。
• 提供了一种确定性算法，可在所推导边界的范围内，通过在范数球上进行凸优化计算近似分解。
• 结果表明，秩分离对小扰动不具鲁棒性，对量子多体系统和通信复杂性具有启示意义。