[论文解读] Approximate Undirected Maximum Flows in O(m polylog(n)) Time

Richard Peng|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 8

一句话总结

本文提出首个在无向图中近似最大流问题的 $O(m\text{polylog}(n))$ 时间算法，通过递归利用超稀疏化（ultra-sparsifiers）和无偏路由方案（oblivious routing schemes）实现。该工作通过使用规模缩减来控制递归成本，解决了流近似中的鸡肋问题（chicken-and-egg problem），实现了近乎线性时间复杂度，且近似质量为多对数级别。

ABSTRACT

We give the first O(m polylog(n)) time algorithms for approximating maximum flows in undirected graphs and constructing polylog(n) -quality cut-approximating hierarchical tree decompositions. Our algorithm invokes existing algorithms for these two problems recursively while gradually incorporating size reductions. These size reductions are in turn obtained via ultra-sparsifiers, which are key tools in solvers for symmetric diagonally dominant (SDD) linear systems.

研究动机与目标

• 打破无向图中近似最大流问题的 $O(m^{1+o(1)})$ 时间复杂度瓶颈。
• 通过递归调用最大流算法，解决构建多对数质量无偏路由方案时存在的递归依赖问题（鸡肋问题）。
• 通过控制递归流实例的总规模，实现 $O(m\text{polylog}(n))$ 的总运行时间。
• 实现高效构建具有 $\text{polylog}(n)$ 质量的割近似分层树分解。
• 统一并改进先前依赖于拥塞近似器（congestion-approximators）和比值割近似（ratio cut approximations）的方法。

提出的方法

• 通过超稀疏化在逐步缩小的图上递归调用近似最大流算法。
• 利用超稀疏化将图规模缩小 $\text{polylog}(n)$ 倍，确保递归总成本保持在 $O(m)$。
• 通过在稀疏化子图上递归调用，构建原始图的 $\text{polylog}(n)$-拥塞近似器。
• 使用矩阵-向量乘积将稀疏化图上的近似器转换到原始图上，且成本有界。
• 将 Räcke 等人提出的无偏路由方案构造作为黑箱近似器，其质量为 $\text{polylog}(n)$。
• 使用蒙特卡洛随机化方法，具有高概率成功保证，失败概率通过递归调用的并集界进行控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $O(m\text{polylog}(n))$ 时间内计算无向图中的近似最大流？
• RQ2 能否解决流近似与无偏路由构造之间的递归依赖关系，以实现近乎线性时间复杂度？
• RQ3 能否利用超稀疏化将递归流计算的总规模控制在 $O(m)$ 以内？
• RQ4 是否存在一种可在 $O(m\text{polylog}(n))$ 时间内构造的 $\text{polylog}(n)$-质量无偏路由方案？
• RQ5 在实现近乎线性总运行时间的同时，能否保持流近似中 $\epsilon^{-3}$ 的依赖关系？

主要发现

• 该算法在 $O(m\log^{41}n\log^{2}\log{n}\max\{\log^{9}n,\epsilon^{-3}\})$ 时间内获得 $(1+\epsilon)$-近似最大流解。
• 由于通过超稀疏化实现规模缩减，所有递归最大流调用的总成本被限制在 $O(m\text{polylog}(n))$。
• 可在 $O(m\log^{45}n\log^{2}\log{n}})$ 时间内构造出 $\text{polylog}(n)$-质量的无偏路由方案。
• 该算法通过确保在更小图上的递归调用不会使总成本超过 $O(m\text{polylog}(n))$，从而解决了鸡肋问题。
• 超稀疏化确保所有递归流实例的总规模至多为 $m/2$，从而实现递归成本的几何级衰减。
• 通过结合递归稀疏化与黑箱无偏路由及拥塞近似器例程，该方法实现了 $O(m\text{polylog}(n))$ 的运行时间。