[论文解读] Approximate weak amenability of Banach algebras

G. H. Esslamzadeh, Behrouz Shojaee|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文引入并研究了巴拿赫代数的四种广义可约性概念：近似可约性、近似弱可约性、近似循环可约性以及近似 $n$-弱可约性。研究证明，若其二阶对偶 $$\mathcal{A}^{**}$ 是近似弱可约性（或 $n$-弱可约性）的，则其本身 $$\mathcal{A}$ 也是该性质的，且证明了近似 $(n+2)$-弱可约性蕴含近似 $n$-弱可约性，从而解决了关于近似可约性概念遗传性质的开放问题。

ABSTRACT

In this paper we deal with four generalized notions of amenability which are called approximate, approximate weak, approximate cyclic and approximate $n$-weak amenability. The first two were introduced and studied by Ghahramani and Loy in [9]. We introduce the third and fourth ones and we show by means of some examples, their distinction with their classic analogs. Our main result is that under some mild conditions on a given Banach algebra $\A$, if its second dual $\A^{**}$ is $(2n-1)$-weakly [respectively approximately/ approximately weakly/ approximately $n$-weakly] amenable, then so is $\A$. Also if $\A$ is approximately $(n+2)$-weakly amenable, then it is approximately $n$-weakly amenable. Moreover we show the relationship between approximate trace extension property and approximate weak [respectively cyclic] amenability. This answers question 9.1 of [9] for approximate weak and cyclic amenability.

研究动机与目标

• 通过引入并分析新的近似概念——近似 $n$-弱可约性和近似循环可约性，扩展巴拿赫代数可约性理论。
• 研究近似弱可约性和近似循环可约性的遗传性质，回应 Ghahramani 和 Loy（2009）提出的第 9.1 问。
• 建立近似可约性能否从二阶对偶 $$\mathcal{A}^{**}$ 继承到代数 $$\mathcal{A}$ 的条件。
• 阐明近似迹扩张性质与近似弱/循环可约性之间的关系，推广 Gronbaek（1993）的结果。

提出的方法

• 将近似 $n$-弱可约性和近似循环可约性的概念作为经典 $n$-弱可约性和循环可约性的推广予以引入。
• 利用二阶对偶 $$\mathcal{A}^{**}$ 上的阿伦斯积来分析模作用并推导上同调性质。
• 证明若 $$\mathcal{A}^{**}$ 是近似弱可约性（或 $n$-弱可约性）的，则在较弱条件下，$$\mathcal{A}$ 也继承该性质。
• 通过近似迹扩张性质，构造对偶空间中的一族元素，以近似实现导子。
• 应用上同调理论技术，特别是第一上同调群 $H^1(\mathcal{A}, \mathcal{X})$，以刻画近似导子。
• 使用单位化 $$\mathcal{A}^{\#}$ 将巴拿赫代数的可约性与其商代数和理想结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$$\mathcal{A}^{**}$ 的近似弱可约性可推出 $$\mathcal{A}$ 的近似弱可约性？
• RQ2 近似 $(n+2)$-弱可约性是否蕴含近似 $n$-弱可约性？
• RQ3 近似迹扩张性质在刻画近似弱可约性和近似循环可约性中起什么作用？
• RQ4 近似弱可约性和近似循环可约性的遗传性质与它们的经典对应物相比如何？
• RQ5 在 $n$-弱可约性的语境下，能否证明近似可约性能从 $$\mathcal{A}^{**}$ 继承到 $$\mathcal{A}$，特别是当 $n$ 为奇数时？

主要发现

• 若 $$\mathcal{A}^{**}$ 是近似弱可约性，则在较弱条件下，$$\mathcal{A}$ 也是近似弱可约性。
• 对任意 $n \geq 1$，近似 $(n+2)$-弱可约性蕴含近似 $n$-弱可约性，推广了经典结果。
• 当 $n$ 为奇数时，若 $$\mathcal{A}^{**}$ 是 $(2n-1)$-弱可约性，则 $$\mathcal{A}$ 是近似 $n$-弱可约性。
• 近似迹扩张性质是将近似弱可约性从商代数传递到原代数的必要且充分条件。
• $$\mathcal{A}$ 的近似循环可约性可通过在 $$\mathcal{A}^{*}$ 中存在一族元素以近似实现导子来刻画。
• 存在巴拿赫代数的例子，其为近似循环可约性但非循环可约性，从而证明了近似概念的严格性。